(Paarweise) Unabhängigkeit

04.02.2014, 19:25

poschmann

(Paarweise) Unabhängigkeit

Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}(\Omega), p) \end{eqnarray*}$ der zugehörige Laplace-Raum. Zeigen Sie, dass die Ereignisse
A = {1,2}, B = {1,3} und C = {2,3} paarweise stochastisch unabhängig, aber nicht gemeinsam stochastisch unabhängig sind.

Meine Lösung

Laplace-Raum, also ist $\begin{eqnarray*} p(\omega)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$

Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} p(A)=p(B)=p(C)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (da jedes Ereignis aus 2 Elementarereignissen besteht)

Die paarweise Unabhängigkeit zeige ich über:

$\begin{eqnarray*} p(B|A)=\frac{p(B \cap A)}{p(A)}=\frac{p(\{1\})}{p(A)}=\frac{1}{2}=p(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(B|C)=\frac{p(B \cap C)}{p(A)}=\frac{p(\{3\})}{p(C)}=\frac{1}{2}=p(B) \end{eqnarray*}$

Frage: Das funktioniert ja nur, wenn ich beide male B nehme - würde ich z.B. mit p(A|B) und p(A|C) prüfen, dann würde es nicht klappen (Edit: da $\begin{eqnarray*} p(\{\}) \end{eqnarray*}$ im Zähler stehen würde). Ist das die Bedeutung von paarweiser Unabhängigkeit?

05.02.2014, 09:32

BigMom

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Paarweise unabhängig heißt, dass

$\begin{eqnarray*} P(A_i\cap A_j)=P(A_i)P(A_j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$

gilt. D.h. du musst noch einen Fall untersuchen. Außerdem sehe ich dein Problem nicht: Wenn du von Zähler sprichst, dann meinst du die Wahrscheinlichkeit der Schnitte. Die Schnitte sind aber nicht leer.

05.02.2014, 10:01

poschmann

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Zitat:

Die Schnitte sind aber nicht leer.

Oh man, ja da hatte ich einen Aussetzer Big Laugh

Zitat:

D.h. du musst noch einen Fall untersuchen.

Danke für den Hinweis, hatte das Verfahren also doch nicht ganz verstanden^^

$\begin{eqnarray*} p(A \cap C) = p(\{2\}) = \frac{1}{4} = p(A) \cdot p(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(A \cap B) = p(\{1\}) = \frac{1}{4} = p(A) \cdot p(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(B \cap C) = p(\{3\}) = \frac{1}{4} = p(B) \cdot p(C) \end{eqnarray*}$

=> paarweise unabhängig

05.02.2014, 11:18

BigMom

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Sieht gut aus Freude

Aber die Aufgabe ist damit noch nicht gelöst Augenzwinkern

05.02.2014, 11:42

poschmann

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Stimmt

$\begin{eqnarray*} p(A \cap B \cap C) = p(\{\}) = 0 \not = \frac{1}{8} = p(A) \cdot p(B) \cdot p(C) \end{eqnarray*}$

=> A,B und C sind nicht gemeinsam stochastisch unabhängig

Danke noch mal für die Tipps!

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