Wie gehe ich mit so eine Fkt um?

05.02.2014, 00:41	Fakelove1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gehe ich mit so eine Fkt um? Ich übe gerade für die Klausur und nun hab ich eine Aufgabe bei den Altklausuren gefunden, die mich verwirrt: Gegeben ist $\begin{eqnarray} D:U \to U , f \to 3f - f' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U= \left\{ \alpha \sin(x)+ \beta \cos(x) + \gamma \sin(2x)+ \delta \cos(2x) : \alpha ,\beta, \gamma, \delta \in \mathbb C \right\} \end{eqnarray}$ . Wie kriege ich nun Kern, Bild, char. Polynom, Eigenwerte , Eigenräume und die Umkehrfunktion heraus? Ich bin es nämlich gewohnt, dass Matrizen gegeben sind bei solche Aufgaben. Wie soll ich vorgehen?
05.02.2014, 06:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die vier Funktionen $\begin{eqnarray} u_1,u_2,u_3,u_4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u_1: x \mapsto sin(x) \, , \ u_2: x \mapsto \cos(x) \, , \ u_3: x \mapsto \sin(2x) \, , u_4: x \mapsto \cos(2x) \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig (was gegebenenfalls noch nachzuweisen wäre). Damit ist $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein vierdimensionaler komplexer Vektorraum mit der Basis $\begin{eqnarray} u_1,u_2,u_3,u_4 \end{eqnarray}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ist linear (was gegebenenfalls noch nachzuweisen wäre), also ein Endomorphismus (auch daß die Bilder wieder in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen, ist einer kurzen Überlegung wert). Wie jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraumes kann sie bezüglich einer Basis durch eine Matrix $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ beschrieben werden. Da nehmen wir natürlich die obige Basis. In der ersten Spalte von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ stehen die Koeffizienten von $\begin{eqnarray} D(u_1) \end{eqnarray}$ als Linearkombination in $\begin{eqnarray} u_1,u_2,u_3,u_4 \end{eqnarray}$ . Machen wir es konkret: $\begin{eqnarray} D(u_1) \end{eqnarray}$ ist eine Funktion. Wir studieren ihre Wirkung auf einem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \left( D(u_1) \right)(x) = \left( 3u_1 - {u_1}' \right)(x) = 3u_1(x) - {u_1}'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 3 \sin(x) - \cos(x) = 3u_1(x) - u_2(x) = \left( 3u_1 - u_2 \right)(x) \end{eqnarray}$ Da dies für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gilt, gilt es für die Funktionen als ganze, also $\begin{eqnarray} D(u_1) = 3 \cdot u_1 - u_2 + 0 \cdot u_3 + 0 \cdot u_4 \end{eqnarray}$ Und die Matrix sieht so aus: $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} 3 & . & . & . \\ - 1 & . & . & . \\ 0 & . & . & . \\ 0 & . & . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt bestimme analog die zweite, dritte und vierte Spalte mittels $\begin{eqnarray} D(u_2),D(u_3),D(u_4) \end{eqnarray}$ .

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