Gauß

05.02.2014, 14:00

GOLFMKI

Eigenwerte / symmetrische Matrix / Gauß

Hallo ich habe eine Verständnisfagen:

Folgender Maßen: Ich nehme an ich habe folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4 & 12 \\12 & 11 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hierbei würde es sich für die Eigenwerte anbieten ein charakteristischen Polynoms zu entwickeln und zu lösen etc. -> hierbei keine Schwierigkeiten.

Nun meine Überlegung für größere Matrizen! :
da bei einer oberen oder unteren Dreiecksmatrix oder Diagonalmatrix die Eigenwerte auf der Diagonalen von A stehen, kann man nicht eine obere rechte Dreiecksmatrix mit dem Gauß-Alg. erzeugen? Somit könnte man theoretisch, wenn man den Rang einer Matrix bestimmt auch sofort die Eigenwerte ablesen (Hauptdiagonale). Daraus würde sich wiederum ergeben, dass man die det(A) = Lambda(1) * Lambda(2) etc. sofort erkennen könnte. Eigentlich eine logische Folgerung. Denn wenn beim Gauß-Verfahren in der untersten Zeile ein Nullvektor entstehen würde, würde die Determinante = 0 sein, da rg(A)<n gilt und dies auch so ist wenn man die Eigenwerte miteinander multiplizieren würde (Lambda1*Lambda2*0)=0=det(A). Ist diese Überlegung von mir korrekt bzw. algemein anwendbar? Lehrer

Nun eine weitere Frage:

Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Eigenwerte, einer symmetrischen Matrix und Quadriken? Kann man hier eventuell auch Folgeschlüsse ziehen? Weil über diese Themen hab ich kaum Informationen gefunden bzw verständlich Infos. Ihr könnt auch gerne Links schicken, wenn ihr was habt, ich erarbeite mir das dann selber. smile

LG
der Golffahrer

05.02.2014, 19:35

tigerbine

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RE: Eigenwerte / symmetrische Matrix / Gauß -> Verständnisfragen
Man kann sicher eine solche Matrix erzeugen, man dürfte sogar ihre Zeilen auf das Pivotelement auf der Diagonalen) normieren. Dann hätten nach deiner Theorie diese Matrizen alle nur einen Eigenwert, die 1. Das Verfahren von liefert keine Äuvalenzumformungen, sondern neue Gleichungessysteme, mit lediglich identischer Lösung.

Vielleicht interessiert dich aber dieser Artikel über die Jordansche Normalform.
[Artikel] Jordansche Normalform

tigerbine out.

05.02.2014, 22:41

GOLFMKI

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Danke für die Antwort! Werde mich mal damit auseinander setzen smile

Mir ist gerade aufgefallen: Wie bestimme ich am besten die Basis der Eigenvektoren und die Basis des Eigenraumes? Bzw. den Kern des Eigenraumes? Stehe grade ein wenig auf dem Schlauch... Und wie weit hilft der Satz : Die Spalten von A sind die Bilder der Einheitsvektoren?
verwirrt

06.02.2014, 08:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von GOLFMKI
Wie bestimme ich am besten die Basis der Eigenvektoren und die Basis des Eigenraumes? Bzw. den Kern des Eigenraumes?

Für jeden Eigenwert lambda mußt du den Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} A - \lambda \cdot I \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wie das geht, sollte bekannt sein. smile

12.02.2014, 14:13

GOLFMKI

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Nun muss ich wohl den Thread nochmal hoch holen...

Bei uns wurden gestern in Höma genau meine Überlegungen besprochen. Hier wurde die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht (alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen = 0 / Gauß-Tableau)
Im folgenden Schritt wurden die Eigenwerte einfach nur abgelesen. Wenn ich deinen Post (tigerbiene) richtig verstanden habe, darf man das nicht, da ein neues LGS geschaffen wird. Jetzt bin ich mir unsicher welche Überlegungen jetzt falsch und/oder richtig sind.

12.02.2014, 16:36

GOLFMKI

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ich mach mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese umgeformt als Zeilenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jezt könnte ich doch theoretisch sagen: 1) meine EW sind hier 1,2,-1,1 --> det(A)=-2 und gleichzeitig den rang -> rg=4

Darf man jede beliebe Matrix auf Zeilenstufenform bringen und so einfach! die Eigenwerte, rang und determinante bestimmen?

LG
PAT

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit)

13.02.2014, 08:40

klarsoweit

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Hast du denn mal geprüft, ob deine so bestimmten Eigenwerte 1, 2, -1 und 1 auch Eigenwerte deiner Ausgangsmatrix sind? Wenn nicht, mache ich mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat die Eigenwerte 1 und 0.

Jetzt addiere mal die 1. Zeile zur 2. Zeile. Welche Eigenwerte hast du dann? smile

13.02.2014, 13:07

GOLFMKI

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charakteristisches Polynom:
x^4 - 2x^3 - 3x^2 + x + 1

reelle Eigenwerte: { -1 ; -0,532088886237956 ; 0,6527036446661393 ; 2,879385241571817 }

Also stimmen die EW wirklich nicht überein (bis auf die -1). Also heißt es wohl immer schön den langwierigen Weg mit dem charakteristischen Polynom zu gehen.

Danke klarsoweit! An dem kleinen Beispiel hab ichs jetzt auch nochmal sofort gesehen. smile

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