Lipschitz stetig?

11.08.2004, 10:54

Lipschitz stetig?

hallo an alle

beim Wiederholen einiger Punkte bin ich gestern zufällig auf eine Definiton gestoßen: Lipschitz stetig oder kurz gesagt l-stetig.
Hab das noch nie zuvor gehört oder behandelt.Hab hier im Lexikon gesucht und war auch kräftig bei Google aktiv.Allles was ich fand war nur eine Formel mit Beträgen.

Kann mir jemand näheres zu dieser Definition sagen?
Ein einfaches Beispiel mit eindeutigen Werten würde evtl schon viel bringen

danke im voraus

11.08.2004, 11:36

therisen

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt Lipschitz-stetig auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vert f(x)-f(y)\vert \leq c\vert x-y\vert \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x, y \in D \end{eqnarray*}$ mit der Lipschitz-Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gilt.

Beispiel:

Für die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

folgt aus

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \vert x^2 - y^2\vert = \vert x+y\vert\vert x-y\vert , \end{eqnarray*}$

dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ mit der Lipschitz-Konstanten

$\begin{eqnarray*} c:= \max_{x,y\in[a,b]} \vert x+y\vert = 2\max(|b|,|a|) \end{eqnarray*}$

ist. Auf unbeschränkten Intervallen ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht Lipschitz-stetig.

Genügt das?

Gruß, therisen

11.08.2004, 11:38

mathemaduenn

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Hallo n!,
Lipschitz stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ stetig
ist f differenzierbar bedeutet L-stetig die Ableitung von f ist beschränkt.
wenn du's mit der epsilon delta Bedingung umschreiben willst so ist delta immer als epsilon/Lipschitzkonstante festgelegt.
Beispiel wäre die Wurzelfunktion die ist nicht L-stetig. Für jede solche L-konstante kannst du näher an die 0 rangehen so das es nicht mehr stimmt.
gruß
mathemaduenn
Edit: zu therisens Funktion stimmt die Schnittstelle mit der beschränkte Ableitung natürlich auch.
$\begin{eqnarray*} c:= \max_{x\in[a,b]} |f'(x)| = \max_{x\in[a,b]} |2x| = 2\max(|b|,|a|) \end{eqnarray*}$

11.08.2004, 12:00

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aha.Vielen Dank euch beiden! smile

Nicht klar war mir vor allem die Bestimmung der Konstante L

09.01.2009, 13:30

Mattef

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Hallo!

Ist f(x)=x^2 wirklich Lipschitzstetig für alle x, y?

In Wikipedia steht zumindest das hier:
de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit

Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht lipschitzstetig sind, z. B. f(x)=x^2

Viele Grüße,
Matthias

09.01.2009, 13:50

Dual Space

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Das hat ja auch keiner behauptet:

Zitat:

Original von therisen
Für die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

folgt aus

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \vert x^2 - y^2\vert = \vert x+y\vert\vert x-y\vert , \end{eqnarray*}$

dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ [...] ist. Auf unbeschränkten Intervallen ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht Lipschitz-stetig.

07.07.2009, 15:06

trixi28788

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dally1
hallo,

ich hab da mal ne frage zur Lipschitz-stetigkeit. sagen wir f: R-->R ist stetig differenzierbar. Wie zeigt man das f auf jedem beschränkten
Intervall Lipschitz-stetig ist?

Könnt ihr mir helfen?

07.07.2009, 16:51

Dual Space

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RE: dally1
Schreib dir doch mal den Differenzenquotienten hin und behalte im Hinterkopf, dass der zugehörige Differentialquotient immer existiert (f ist diffbar!).

08.07.2009, 09:45

trixi28788

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ja und nun? versteh ich irgendwie nicht. kannst du mir das mal zeigen? ich muss das können für die klausur.

08.07.2009, 10:53

Dual Space

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Schreib doch einfach mal den Differenzenquotienten hin. Das wirst du doch können.

08.07.2009, 11:04

trixi28788

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meinst du denn?
x--> $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$ für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I \{a}
das is der Differenzenquotient von f an der Stelle a.

so hab ich es gelernt.

08.07.2009, 12:50

Dual Space

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Ok ... machen wir es mal noch ein wenig einfacher. Wir betrachten ein beliebiges Interval [a,b].

Laut MWSD existiert eine Zahl $\begin{eqnarray*} \xi\in(a,b) \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

gilt. Nun bringe die letztere Gleichung mal in die Form, wie du sie für die Lipschitz-Stetigkeit brauchst, also |f(b)-f(a)| = ...

24.06.2012, 07:40

annemmi

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Ist es Absicht dass du $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ aus dem offenen Intervall (a,b) gewählt hast oder meintest du [a,b]? Wenn es (a,b) sein sollte - warum?

Ich hätte dann so weitergemacht:
$\begin{eqnarray*} f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} =| \frac{f(b)-f(a)}{b-a} | \end{eqnarray*}$ da b>a (oder kann ich das nicht so sagen?)
und $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow | f(b)-f(a) | =f'(\xi)| b-a | \end{eqnarray*}$
setze $\begin{eqnarray*} f'(\xi)=L \end{eqnarray*}$ (Lipschitz-Konstante)
Daraus folgt die Behauptung.

Stimmt das so?

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