Faktorraum |
| 05.02.2014, 18:02 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Faktorraum Leider ist mir nicht ganz deutlich geworden, was ein Faktorraum ist. Die Definitionen haben mich nicht wirklich weitergebracht. Meine Ideen: Der Faktorraum steht im Zusammenhang mit der Nebenklasse, doch ich weiß auch nicht, was das sein soll. Danke im Voraus für Eure Hilfe. 
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| 06.02.2014, 12:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da du dich mit Vektorräumen beschäftigst, hast du bestimmt schon einmal etwas von Mengen gehört. Zur Erinnerung : Ist M eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) auf M, so zerfällt M in Klassen äquivalenter Elemente [a]:={b in M : b~a} (das sind disjunkte Teilmengen von M, die M vollständig überdecken). Umgekehrt induziert jede Klasseneinteilung eine Äquivalenzrelation vermöge a~b genau dann wenn [a]=[b] genau dann wenn a in [b] und b in [a]. Die Menge der Klassen M/~:={[a]: a in M} heißt Faktormenge von M nach ~. Jetzt ist für einen Untervektorraum U<V die Definition des Faktorraumes überhaupt kein Problem mehr, denn man definiert eine Äquivalenzrelation ~ auf der Menge V durch x~y genau dann wenn x-y in U . Die Faktormenge V/~ nennt man V/U. (Wenn du das noch nicht verstanden hast, musst du nur beweisen, dass ~ eine Äquivalenzrelation auf V ist.) Diese Faktormenge V/U={[x] : x in V } wird durch die vertreterunabhängige (man sagt auch wohldefinierte) Definition der Addition und skalaren Multiplikation [x]+[y]:=[x+y], a*[x]:=[ax] zu einem Vektorraum, deshalb heißt die Faktormenge V/~ Faktorraum V/U (man sagt auch Quotientenraum dazu). (Wenn du das noch nicht verstanden hast, muss du nur beweisen, dass die Operationen +,* wohldefiniert sind und dass V/U ein Vektorraum ist (also bitte alle Vektorraumaxiome beweisen unter der Voraussetzung U<V Vektorraum). Eine Nebenklasse ist eine Klasse [x]={y in V : x-y in U} = x+U . Mehr steckt nicht dahinter, der Begriff Faktorraum ist einer der wichtigsten Begriffe der linearen Algebra, so wie der Begriff Faktormenge einer der wichtigsten Begriffe der Mathematik ist. |
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| 06.02.2014, 13:32 | Louis1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Lynn2, Ich würde gerne noch etwas zur geometrischen Veranschaulichung von Faktorräumen erklären. Ich möchte aber darauf hinweisen, dass du zuerst die Definition wirklich verstehen solltest (so wie es Elvis oben erklärt hat), um dann die Anschauung dahinter verstehen zu können. Das ist auch ein guter Test, ob du mit der Definition wirklich im Reinen bist (insbesondere habe ich keine Tafel, um dir etwas aufzumalen, deswegen musst du schon ein bisschen Grundverständnis mitbringen, um meine Erklärung verstehen zu können): Stelle dir deinen Vektorraum K^n als geometrischen, n-dimensionalen Raum vor. Sei U ein Untervektorraum, dann können wir durch lineares "verschieben" von U den Vektorraum K^n durch Kopien von U überdecken. Jede dieser Kopien von U ist nun ein Element in K^n/U. Multiplikation bzw. Addition läuft so ab, dass man einfach alle Elemente einer Kopie von U multipliziert/addiert. Dabei muss man überprüfen, dass hier wieder eine (im Regelfall andere) Kopie von U dabei herauskommt. Alternativ stellen wir fest, dass wir uns auch einfach jeweils ein Element aus so einer Kopie von U auswählen können und schauen, in welcher Kopie von U die Summe/das Produkt landet (hier müssten wir die Unabhängigkeit der Wahl des Elementes begründen). Um sich das ganze vorzustellen, schlage ich vor. Der einzige nichttriviale Fall ist, dass U eine Gerade ist. Dann "überdecken" wir (anschaulich) R^2 durch alle zu U parallelen geraden. An diesem Bild kannst du ja einmal ausprobieren, ob du siehst, wie die Wahl der Repräsentanten egal ist. Außerdem sieht man hier auch sehr schön, dass eindimensional, dass heißt selber eine Gerade, ist. Der Raum wird nämlich genau durch die zu U senkrechte Ursprungsgerade repräsentiert. So kann man sich auch in höheren Dimensionen die Dimensionsformel für Faktorräume veranschaulichen. Für ein Bild (im R²) siehe zum Beispiel hier Ich möchte noch einmal darauf hinweisen, dass die Definition zu kennen und zu verstehen wichtiger ist, als das geometrische Bild dahinter (bzw. auch vollkommen 'ausreichend'). Andererseits kann das Bild dabei helfen, die Definition zu verstehen und - was viel besser ist - viele Aussagen über Faktorräume werden dir trivial(er) erscheinen. lg Ich |
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