Irreduzible Polynome

05.02.2014, 21:10

Matheversteher

Irreduzible Polynome

Hallo

ich habe 4 Polynome die ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ auf Irreduzibilität testen soll:

a.) $\begin{eqnarray*} x^4 +10x^3+100x^2+10000x+10 \end{eqnarray*}$
b.) $\begin{eqnarray*} x^4+3x^3+x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$
c.) $\begin{eqnarray*} x^5+7x^3+4x^2+6x+1 \end{eqnarray*}$
d.) $\begin{eqnarray*} x^4-4x^3+6x^2-4x-9999 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a.) Ist irreduzibel aufgrund des Eisensteinkriterium. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_3, a_2 , a_1, a_0 \end{eqnarray*}$ sind durch p=2 teilbar, allerdings ist $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ nicht durch p^2 teilbar.

b.) Ist irreduzibel aufgrund der Reduktion mod 3:
$\begin{eqnarray*} x^4+3x^3+x^2-2x+1 \equiv x^4 + x^2 -2x +1 = 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$
Es gibt kein x mod 3, für dass die Gleichung erfüllt ist, und somit ist mein Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

c.) Ist irreduzibel aufgrund der Reduktion mod 2.
$\begin{eqnarray*} x^5+7x^3+4x^2+6x+1 \equiv x^5 + x^3 +1= 0 \mod 2 \end{eqnarray*}$
Es gibt kein x mod 2, für dass die Gleichung erfüllt ist, und somit ist mein Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

d.) Ist irreduzibel aufgrund der Reduktion mod 5.
$\begin{eqnarray*} x^4-4x^3+6x^2-4x-9999 \equiv x^4 + x^3 + x^2 + x + 4 = 0 \mod 5 \end{eqnarray*}$
x = 1 --> $\begin{eqnarray*} 1+1+1+1+4 \equiv 3 \mod 5 \end{eqnarray*}$
x = -1 --> $\begin{eqnarray*} 1-1+1-1+4 = 4 \mod 5 \end{eqnarray*}$
x = 2 --> $\begin{eqnarray*} 16 + 8 + 4 + 2 + 4 \equiv 4 \mod 5 \end{eqnarray*}$
x = -2 --> 1 $\begin{eqnarray*} 6 - 8 + 4 - 2 + 4 \equiv 4 \mod 5 \end{eqnarray*}$
Es gibt kein x mod 5, für dass die Gleichung erfüllt ist, und somit ist mein Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

Kann ich das alles so machen oder ist das falsch, so wie ich es gemacht habe? verwirrt

Bin mir unsicher, was die Irreduzibilität angeht und kann daher Hilfe gebrauchen, was das angeht (sofern was falsch ist).

Vielen Dank für eure Hilfe smile

05.02.2014, 23:45

Mulder

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RE: Irreduzible Polynome

Zitat:

Original von Matheversteher
b.) Ist irreduzibel aufgrund der Reduktion mod 3:
$\begin{eqnarray*} x^4+3x^3+x^2-2x+1 \equiv x^4 + x^2 -2x +1 = 0 \mod 3 \end{eqnarray*}$
Es gibt kein x mod 3, für dass die Gleichung erfüllt ist, und somit ist mein Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel.

Wir hatten es doch in deinem letzten Thread schon darüber: Nur weil ein Polynom keine Nullstellen hat, muss es noch lange nicht irreduzibel sein.

Deine Argumentation ist also schlicht falsch. Das Polynom in d) zum Beispiel ist durchaus reduzibel.

06.02.2014, 10:44

Matheversteher

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Hallo Mulder Wink

zu d.) Das habe ich total vergessen, mit p | 9999 und q | 1 , habe ich ja $\begin{eqnarray*} \pm 3 , \pm 9 , \pm 11 , \pm 33 , \pm 99, .... \end{eqnarray*}$ als mögliche Kandidaten. Das ist zwar mühsam aber als Ergebnis habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} (x+9)(x-11)(x^2-2x+101) \end{eqnarray*}$
Das kann ich aber nicht weiter reduzieren.

zu b und c:
Wie zeige ich denn hier, dass die Polynome irreduzibel/reduzibel sind? Bleibt mir jetzt nur noch die Möglichkeit es über den ggT(f, f') zu machen? bzw den Koeffizientenvergleich in dem ich das Polynom in quadratische, lineare und kubische Polynome zerlege.

Ich scheue mich nur immer da vor, weil es ja relativ umständlich ist und es doch einen einfacheren Weg geben müsste?! Oder ist das dann genau der Weg in diesem Fall? Also wie finde ich effektiv und schnell meine Polynomteiler?

zu a:
Zieht hier das Eisensteinkriterium oder ist die Aufgabe auch falsch?

Allgemein zu der Reduktion, da habe ich jetzt gedacht aufgrund Elvis' Satz aus dem anderen Post , ganz unten, geacht. Wenn ich für ein mod p keine Nullstelle finde, dass es dann auch irreduzibel ist. Was verstehe ich hier an der Reduktion falsch? Oder kannst du es mir an einem Beispiel zeigen, wie ich es mod p mache? verwirrt

Klar, mir ist das Beispiel $\begin{eqnarray*} x^4-4 \end{eqnarray*}$ als Gegenbeispiel gezeigt worden, das kann ich ja ohne weiteres in zwei quadratische Polynome zerlegen. Ach das ist einfach verflixt verwirrt

06.02.2014, 11:00

Mulder

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a) ist richtig mit Eisenstein.

Zu b)

Modulo 3 zu reduzieren ist durchaus sinnvoll. Aber du musst dann eben nachweisen, dass das reduzierte Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3 \mathbb Z [X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, um die Irreduzibilität in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ nachzuweisen. Nur damit, dass das Polynom keine Nullstellen hat, ist es nicht getan. Dann kann man keinen Linearfaktor abspalten, ok. Kann ja trotzdem noch sein, dass das Polynom in zwei irreduzible Polynome vom Grad 2 zerfällt.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3 \mathbb Z [X] \end{eqnarray*}$ gibt es allerdings nur sehr wenige normierte irreduzible Polynome vom Grad 2. Die kannst du an einer Hand abzählen. Deswegen braucht man die Methode mit dem Koeffizientenvergleich hier gar nicht. Schreib dir die normierten irreduziblen Polynome vom Grad 2 (es sollten drei Stück sein) alle hin und probier aus, ob aus zweien von denen als Produkt eben $\begin{eqnarray*} x^4 + x^2 +x +1 \end{eqnarray*}$ ergibt. Einfach alle Möglichkeiten kurz durchprobieren. Wenn nicht, ist das Polynom irreduzibel.

Und das dauert dann halt auch mal fünf Minuten. Macht doch nichts.

Zu d) Wenn in der Aufgabe nur steht, dass man auf Irreduzibilität testen soll, reicht es auch schon, eine Nullstelle zu finden. Dann ist das Polynom sofort reduzibel. Wie die komplette Zerlegung dann tatsächlich aussieht, ist an sich belanglos. Kommt auf die Formulierung der Aufgabenstellung an. Wenn da nicht explizit gefordert ist, die Zerlegung anzugeben, kann man sich das auch schenken.

06.02.2014, 17:00

Matheversteher

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So habe es nach gerechnet:

zu b)
das Polynom ist irreduzibel, da es sich auch mod 3 nicht reduzieren lässt. Irreduzible quadratische Polynome mod 3 sind : $\begin{eqnarray*} x^2+x+2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2 \end{eqnarray*}$ (nun folgt Polynomdivison, falls gewünscht werde ich das nachtragen) Also heißt das jetzt auch automatisch, dass sich f(x) auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, verstehe ich das richtig?

c.)
Das Polynom ist mod 2 reduziert. Das einzige quadratische Polynom, dass sich nicht mod 2 reduzieren läss ist $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ . Nun folgt auch wieder die Polynomdivision, mit dem Ergebnis, dass irreduzibel ist. Somit gibt es auch kein Polynom 3ten Grades mod 2. Nun folg auch wieder, dass sich das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nicht weiterreduzieren lässt?

Mal zum Verständnis:
Ich überprüfe mein Polynom erst mal auf Nullstellen. Finde ich keine, schaue ich ob Eisenstein funktioniert. Greift Eisenstein nicht, so muss ich nach Polynomfaktoren suchen. Dies tue ich am besten in dem ich scharf hinsehe (binomische Formel etc.) oder in dem ich mod p reduziere?!

06.02.2014, 21:30

Mulder

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Stimmt im Wesentlichen (teilweise etwas holperig formuliert, aber inhaltlich sollte es passen).

Zitat:

Original von Matheversteher
Ich überprüfe mein Polynom erst mal auf Nullstellen. Finde ich keine, schaue ich ob Eisenstein funktioniert. Greift Eisenstein nicht, so muss ich nach Polynomfaktoren suchen. Dies tue ich am besten in dem ich scharf hinsehe (binomische Formel etc.) oder in dem ich mod p reduziere?!

Naja ... ich wehre mich wohl ein bisschen dagegen, sich so eine sture Reihenfolge reinzuhämmern. Es kommt immer ganz auf das Polynom an. Manchmal geht dies schneller, manchmal das ... einfach erstmal hinschauen und sich dann überlegen, welcher Ansatz vielversprechend sein könnte.

Bei der a) zum Beispiel, da sollte man sofort sehen, dass man hier Eisenstein anwenden kann, mit p=2 oder p=5. Springt ja eigentlich sofort ins Auge. Und dann wäre es komplette Zeitverschwendung, erst noch alle möglichen Nullstellen einzusetzen, erst recht bei so großen Vorfaktoren. Sinnlose Rechnerei. Eisenstein ist ja insgesamt immer sehr schnell nachgeprüft.

Aber wie gesagt, da sollte man von Fall zu Fall schauen.

Und bei Polynomen von höchstens Grad 3 ist das Vorhandensein von mindestens einer Nullstelle ja wie gesagt sogar äquivalent zur Reduzibilität. Erst ab Grad 4 braucht man ggf. andere Methoden.

06.02.2014, 23:17

Matheversteher

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Alles klar, danke dir Mulder. Hast mir definitiv geholfen Freude

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