Berechnung von Dreieckstransversalen

05.02.2014, 22:51

manuel97

Berechnung von Dreieckstransversalen

Guten Abend,

wir schreiben am Freitag einen Test in Mathe zum Thema Dreieckstransversalen, also konkret geht es um die Berechnung der Höhe, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende und eventuell auch der Winkelhalbierenden.
Ich möchte die Aufgaben über Vektoren angehen und mir bis dahin noch etwas Wissen aneignen. Bisher weiß ich, dass sich die Höhe folgendermaßen berechnet:
$\begin{eqnarray*} h_C = \frac{|AB \times AC|}{|AB|} \end{eqnarray*}$

Und wie berechne ich die anderen Transversalen über Vektorgeometrie? Ich brauche lediglich Formeln, wäre aber auch dankbar für Erklärungen für das bessere Verständnis!

05.02.2014, 23:05

riwe

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RE: Berechnung von Dreieckstransveralen
über diese Formel würde ich noch in mannigfaltiger Weise intensiv nachdenken unglücklich

06.02.2014, 07:01

manuel97

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Inwiefern, ist der falsch? Das ist doch eigentlich nur der Sinussatz, nur dass er mit dem Kreuzprodukt formuliert wurde, oder?

06.02.2014, 08:15

Leopold

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$\begin{eqnarray*} d(C,AB) = \frac{\left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|} = \frac{\left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|} \end{eqnarray*}$

berechnet letztlich den Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ von der Geraden $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ im dreidimensionalen Raum. Wenn du also mit der Höhe $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ diesen Abstand meinst, dann ist die Formel richtig. In manchen Kontexten meint $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ aber die Orthogonale von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , also die Höhengerade. Da die Formel aber keine Geradengleichung darstellt, wäre sie für diesen Fall unbrauchbar.

Da du zum Beispiel auch die Mittelsenkrechte erwähnst, die mit Sicherheit eine Gerade meint und keinen Abstand, ist nicht so ganz klar, was du eigentlich willst.

06.02.2014, 12:55

manuel97

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Ja, wir sollen in dem Fall die Länge berechnen. Wie würde man denn die Vektorgeradengleichung der Mitrelsenkrechte berechnen?

06.02.2014, 13:53

riwe

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meine Kritik oben richtete sich insbesondere dagegegen, das Kreuzprodukt zu verwenden, ohne anzugeben, dass man sich in R3 befindet, was ja meist bei 3ecken NICHT der Fall ist.

für die zu c mittelsenkrechte Gerade könnte man versuchen

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}_\perp \end{eqnarray*}$

wobei der (richtige) senkrechte Vektor in R2 leicht(er) zu finden ist
die Länge einer Mittelsenkrechten scheint mir nicht wirklich definiert, siehe den Beitrag oben unglücklich

die Länge der Seitenhalbierenden schon, das sollte dir ja nun gelingen

06.02.2014, 15:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von riwe
meine Kritik oben richtete sich insbesondere dagegegen, das Kreuzprodukt zu verwenden, ohne anzugeben, dass man sich in R3 befindet, was ja meist bei 3ecken NICHT der Fall ist.

Als kleine sportliche Herausforderung kann man ja fordern, dass die Vektorgleichungen für beliebige Dimensionen >2 gültig sind, also z.B. auch 4. Augenzwinkern

So z.B. bei der Mittelsenkrechte

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\lambda \left( \overrightarrow{AC} - \frac{(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB})}{|AB|^2} ~ \overrightarrow{AB} \right) \end{eqnarray*}$ ,

dann allerdings nicht zu verwechseln mit der für Dimensionen >3 auch üblichen Mittellot(hyper)ebene. Big Laugh

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