Zerfällungskörper und Minimalpolynom

05.02.2014, 23:15

Matheversteher

Zerfällungskörper und Minimalpolynom

Hallo

Ich habe folgende Aufgabe:
Bestimmen sie den Grad von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt(2), i ) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} x=i- \sqrt(2) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Also in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt(2), i ) \end{eqnarray*}$ müssen alle Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ liegen. Somit:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt(2), i ) = \{a+b \sqrt2 + c \cdot i + d \cdot i \sqrt2 | a,b,c,d \in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$

[K:Q]= 4 , also ein 4-dimensinaler Vektorraum.

Und das Minimalpolynom berechnet sich mit:
$\begin{eqnarray*} x = i- \sqrt2 <br /> \rightarrow x^2 = -1 - 2i \sqrt2 +2 <br /> <=> x^2-1 = -2i \sqrt2 <br /> \rightarrow x^4-2x^2+1 = -8 <br /> <=> x^4-2x^2+9 \end{eqnarray*}$

Somit ist mein Minimalpolynom f(x) = x^4-2x^2+9.

Ist das richtig? Danke für eure Hilfe smile

05.02.2014, 23:42

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zerfällungskörper und Minimalpolynom

Zitat:

Original von Matheversteher
Somit ist mein Minimalpolynom f(x) = x^4-2x^2+9.

Man sollte hier wohl noch ein Wort darüber verlieren, dass dieses f auch tatsächlich irreduzibel ist. Das weiß man erstmal noch nicht. Man weiß nur, dass das Minimalpolynom dieses f teilt. Die Irreduzibilität solltest du also nochmal kurz verifizieren.

Ansonsten stimmt das soweit.

06.02.2014, 18:14

Matheversteher

Auf diesen Beitrag antworten »

So, zu dem Polynom habe ich mir folgendes überlegt.

Das Polynom lässt sich nicht in als linearen $\begin{eqnarray*} (x-a) \end{eqnarray*}$ multipliziert kubischen Faktor $\begin{eqnarray*} (x^3+bx^2+c) \end{eqnarray*}$ aufteilen, da das Polynom keine Nulstelle besitzt in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Also muss ein quadratisches Polynom abspaltbar sein.
$\begin{eqnarray*} f(x)= (x^2+b)(x^2+c) = x^4+x^2(b+c) + bc \end{eqnarray*}$
Nun kann man einen Koeffizientenvergleich machen bei dem aber für $\begin{eqnarray*} c = ... \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ } herauskommt. Somit müsste es irreduzibel sein.

Frage:
Das Minimalpolynom soll ja für $\begin{eqnarray*} x=i - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
Könnte ich nun alle Nullstellen betrachten, also:
$\begin{eqnarray*} x_1= i - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= -i - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3= i + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} x_4= -i + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \end{eqnarray*}$ . Multipliziere ich nun die jeweils 2 Klammern miteinander, so erhalte ich quadratische Polynome mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Zeigt mir das schon, dass das Polynom nicht weiter in zwei quadratische Polynome zu reduzieren ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ? Reicht das aus?

06.02.2014, 19:00

micha_L

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Original von Matheversteher
[...]
Frage:
Das Minimalpolynom soll ja für $\begin{eqnarray*} x=i - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
Könnte ich nun alle Nullstellen betrachten, also:
$\begin{eqnarray*} x_1= i - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= -i - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3= i + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} x_4= -i + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) \end{eqnarray*}$ . Multipliziere ich nun die jeweils 2 Klammern miteinander, so erhalte ich quadratische Polynome mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Zeigt mir das schon, dass das Polynom nicht weiter in zwei quadratische Polynome zu reduzieren ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ? Reicht das aus?

Ja, würde reichen.

Du könntest aber auch noch etwas anders argumentieren:
Für jedes reelle Polynom (Polynom mit reellen Koeffizienten) $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und jeder komplexen Nullstelle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \bar z \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Damit kommen als quadratische Faktorpolynome von $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+9 \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-\overline{x_1}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (x-x_3)(x-\overline{x_3}) \end{eqnarray*}$ infrage. Bedeutet, dass du nur zwei Polynome testen musst.

Variante: Ist dir aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+9 \end{eqnarray*}$ als Polynom in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aufgefasst werden kann? Dort hätte es auch nur Grad zwei. Von diesem Polynom müsste nur getestet werden, ob es rationale Nullstellen hat.

Mfg Michael

06.02.2014, 23:22

Matheversteher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von micha_L
Variante: Ist dir aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+9 \end{eqnarray*}$ als Polynom in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aufgefasst werden kann? Dort hätte es auch nur Grad zwei. Von diesem Polynom müsste nur getestet werden, ob es rationale Nullstellen hat.

Mhhhh wie meisnt du das verwirrt

Meinst du das, weil es nur gerade Exponenten hat? Sprich ich könnte das substituieren mit $\begin{eqnarray*} z = x^2 \end{eqnarray*}$ , sodass ich $\begin{eqnarray*} z^2-2z+9 \end{eqnarray*}$ erhalte?

07.02.2014, 07:27

micha_L

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matheversteher
Mhhhh wie meisnt du das verwirrt

Ja, so meine ich das.

Mfg Michael

07.02.2014, 11:38

Matheversteher

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich danke euch beiden Freude

Neue Frage »

Antworten »

Zerfällungskörper und Minimalpolynom

Verwandte Themen