Differenzierbarkeit einer Funktion

06.02.2014, 06:01

Kimyaci

Differenzierbarkeit einer Funktion

Guten Morgen. Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}<br /> e^x-1, & \text{für} \ \ \ x > 0\\<br /> \frac{e^x-e^{-x}}{2}, & \text{für} \ \ \ x\leq0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

a) in welchen Punkten $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig?

b) untersuchen Sie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf Differenzierbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

c) geben Sie die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (dort wo sie existiert) an.

Mein Ansatz:

a) Ich kann noch nicht so sauber begründen, der Teil für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist ja Sinus Hyperbolicus, sinh. Und diese Funktion ist stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , bzw. da sowohl die e-Funktion, ihre Umkehrfunktion und auch 2 stetige Funktionen sind muss ihre Verknüpfung ja auch stetig sein?

Beim ersten hab ich mir gedacht; da die e-Funktion stetig ist, muss auch $\begin{eqnarray*} e^x - 1 \end{eqnarray*}$ stetig sein. Interessant wäre noch die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, müssen links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und mit dem Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ übereinstimmen.

Rechtsseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} (e^x - 1) = 0 \end{eqnarray*}$

Linksseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{0}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Das erschien mir etwas zu einfach... die Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig, da

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} (e^x - 1) = \lim_{x \downarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2} = f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

ist. Stimmt das so?

b) ich hab gerade leider nur einen Satz parat der besagt, dass differenzierbare Funktionen stetig sind.. das Gegenteil gilt wohl eher nicht wenn ich mich recht erinnere. Nun dann muss ich die Differenzierbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \downarrow 0} \frac{f(+h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \downarrow 0} \frac{e^h - 1 - (-1)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \downarrow 0} \frac{e^h - 2}{h} \end{eqnarray*}$

Und was mach ich jetzt?

Linksseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \uparrow 0} \frac{f(-h)-f(0)}{-h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \uparrow 0} \frac{ \frac{e^{-h}-e^{h}}{2}}{-h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h \uparrow 0} \frac{ e^{-h}-e^{h} } {-2h} \end{eqnarray*}$

Hm.. irgendwie komme ich nicht weiter.

c):

Heißt das jetzt, dass ich zwei verschiedene Ableitungen angeben muss?

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$

Wars das schon für c)? Die Funktion ist also auch differenzierbar auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (mit Annahme, dass es auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist - habe ich ja aber noch nicht zeigen können)?

06.02.2014, 06:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

siehe hier

06.02.2014, 07:10

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay habs mir angeschaut, die pdf-Datei ist brauchbar.

Der Funktionswert beider Funktionen an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stimmt überein und auch die Ableitungen an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ sind identisch $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ die Funktion ist differenzierbar an dieser Stelle. Ist sie auch als Ganzes differenzierbar?

Aber das erschien mir zu einfach, wie mache ich denn mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert weiter?

06.02.2014, 07:39

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit den Bezeichnungen im Link gilt

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \sinh x \, , \ \ x \in I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi(x) = \operatorname{e}^x - 1 \, , \ \ x \in J \end{eqnarray*}$

Und man kann $\begin{eqnarray*} I = J = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wählen. Besser kann es nicht sein: Zwei überall definierte differenzierbare (und damit auch stetige) Funktionen!

Und daraus wird eine neue Funktion gebastelt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \varphi(x), & x \leq 0 \\ \psi(x), & x > 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi'(0) \end{eqnarray*}$ ist der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi'(0) \end{eqnarray*}$ ist der rechtsseitige Grenzwert. Beachte, daß die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ schon geklärt ist, sonst könnte man diesen Schluß nicht so ohne weiteres machen. Und da die beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist das auch der Grenzwert des Differenzenquotienten überhaupt.
Und was die Differenzierbarkeit an anderen Stellen angeht, dazu steht auch alles im Link (unter 1.).

06.02.2014, 09:20

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \varphi'(0) \end{eqnarray*}$ ist der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi'(0) \end{eqnarray*}$ ist der rechtsseitige Grenzwert.

Ach so, das heißt ich brauche gar nicht diese lästigen einseitigen Grenzwerte berechnen sondern schaue mir einfach nur die Funktionswerte für die Ableitungen an?

Zitat:

Beachte, daß die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ schon geklärt ist, sonst könnte man diesen Schluß nicht so ohne weiteres machen.

Na ja aber mit der Methode aus der pdf-Datei ist das ja auch einfach machbar - einfach nur x = 0 einsetzen in beide Funktionen - und schon ist die Stetigkeit kein Problem.

Zitat:

Und was die Differenzierbarkeit an anderen Stellen angeht, dazu steht auch alles im Link (unter 1.).

Okay, ich denke mal die Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar (da sinh auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und $\begin{eqnarray*} e^x - 1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls).

Was ist mit a), c)? Waren die in Ordnung? Das war ja jetzt alles nur b).

06.02.2014, 10:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
siehe hier

Gut zu wissen zum Verlinken. Hätte ich mal früher kennen sollen, dann hätte ich mir das hier (ohne grafischen Entscheidungsbaum) sparen können. smile