Taylorpolynom, Lagrangesches Restglied

06.02.2014, 12:31	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom, Lagrangesches Restglied Bin nun endlich beim Thema Taylorpolynome angelangt. So wie ich das verstanden habe sollen Taylorpolynome extrem nützlich sein um Nicht-Polynome durch Taylorreihen anzunähern. Also das Grundkonzept ist eine Annäherung durch Polynome? Aufgabe: Gegeben sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{e^{x+1} + e^{-x-1}}{2} \end{eqnarray}$ a) Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom $\begin{eqnarray} T_f^2 (x,x_0) \end{eqnarray}$ im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0 = - 1 \end{eqnarray}$ . b) Geben Sie die Lagrangesche Restglieddarstellung von $\begin{eqnarray} R_2 (x,-1) \end{eqnarray}$ an. c) Geben Sie mithilfe des Taylorpolynoms aus a) einen Näherungswert für den Funktionswert $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ an. Ansatz: a) Taylorpolynome haben wir in der Vorlesung definiert als: $\begin{eqnarray} T_f^n(x,x_0) := \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k \end{eqnarray}$ Damit wäre: $\begin{eqnarray} T_f^2(x,-1) = \sum_{k=0}^2 \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f^2(x,-1) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} \cdot (x-x_0)^2 \end{eqnarray}$ Die Ableitungen: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{e^{x+1}-e^{-x-1}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = \frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2} \end{eqnarray}$ Alles eingesetzt: $\begin{eqnarray} T_f^2(x,-1) = \frac{e^{-1}+e}{2} + \frac{e^{-1}-e}{2} \cdot (x+2) + \frac{e^{-1}+e}{4} \cdot (x+2)^2 \end{eqnarray}$ Soll ich das so als Ergebnis stehen lassen? Was ist mit der Bedingung "n-mal differenzierbar", muss ich das noch irgendwie überprüfen bevor ich losrechnen darf? b) Kleine Frage zum Rest; wenn ich die Funktion jetzt mithilfe des zweiten Taylorpolynoms darstellen möchte, brauche ich dann $\begin{eqnarray} R_2(x) \end{eqnarray}$ ? Also: $\begin{eqnarray} f(x) = T_f^2(x,x_0) + R_2(x) \end{eqnarray}$ ? Ist der Index des Restes mit dem Index des größten Taylorpolynoms identisch? Die Restglieddarstellung (stures einsetzen): $\begin{eqnarray} R_2(x) = \frac{f'''(\zeta)}{(2+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_2(x) = \frac{e^{\zeta+1}-e^{-\zeta-1}}{12} \cdot (x+2)^{3} \end{eqnarray}$ Da die Fehlerabschätzung nicht klausurrelevant ist lass ichs auch einfach mal weg. Aber die Funktion muss ja (n+1)-mal differenzierbar sein... wie gehe ich damit um - oder nimmt man das stillschweigend immer an? c) Wenn ich in das Taylorpolynom aus a) x=0 einsetze: $\begin{eqnarray} T_f^2(x,-1) = \frac{e^{-1}+e}{2} + \frac{e^{-1}-e}{2} \cdot 2 + \frac{e^{-1}+e}{4} \cdot 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{e^{-1} + e}{2} + e^{-1} + e + e^{-1}+e = \frac{e^{-1} + e}{2} + 2e^{-1} + 2e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{e^{-1} + e}{2} + \frac{4e^{-1} + 4e}{2} = \frac{e^{-1} + e + 4e^{-1} + 4e}{2} = \frac{5e^{-1} + 5e}{2} = \frac{5 \cdot (e^{-1} + e)}{2} \end{eqnarray}$ Hm.. und was mache ich jetzt?

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