Taylorentwicklung

06.02.2014, 15:14

Kimyaci

Taylorentwicklung

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

a) bilden Sie die ersten vier Ableitungen von f.

b) Geben Sie $\begin{eqnarray*} T_f^3(x,0) \end{eqnarray*}$ und die Lagrangesche Restglieddarstellung des Restes $\begin{eqnarray*} R_3(x) \end{eqnarray*}$ an.

c) Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{R_3(x)}{x^3} = 0 \end{eqnarray*}$

Hinweis: Ist $\begin{eqnarray*} \xi = \xi(x) \end{eqnarray*}$ zwischen x und 0, so geht $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Welche Schlüsse können Sie daraus über die Geschwindigkeit der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} R_3(x) \end{eqnarray*}$ ziehen?

a) war etwas Fleißarbeit, ich lasse mal den Rechenweg weg und schreibe nur die Ergebnisse auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-x}(2x-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{-x}(x^2-6x+6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = e^{-x}(6x-12) \end{eqnarray*}$

b) da die Funktion kein Polynom ist und n-mal differenzierbar (?) ist:

$\begin{eqnarray*} f(x) = T_f^3(x,x_0) + R_3(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2} (x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{6} (x-x_0)^3 + \frac{f''''(\xi)}{4!} x^4 \end{eqnarray*}$

Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{6}{2} x^2 - \frac{12}{6} x^3 + \frac{f''''(\xi)}{4!} x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3 x^2 - 2 x^3 + \frac{e^{-\xi}(6\xi-12)}{4!} x^4 \end{eqnarray*}$

c) hier habe ich Probleme;

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{R_3(x)}{x^3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{-\xi}(6\xi-12)}{4!} x^4}{x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{e^{-\xi}(6\xi-12) \cdot x}{4!} \end{eqnarray*}$

Hm.. ich würde jetzt einfach x gegen Null laufen lassen, da der Zähler ein Produkt ist:

$\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$

Ist der Grenzwert Null, aber mit dem Hinweis kann ich nichts anfangen und welche Schlüsse ich ziehen soll weiß ich auch nicht...

07.02.2014, 01:30

Dopap

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RE: Taylorentwicklung
Da haben sich Fehler eingeschlichen, ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-x}(2x-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{-x}(x^2-4x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = e^{-x}(-x^2+6x-6) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x) = e^{-x}(x^2 -8x+12) \end{eqnarray*}$

07.02.2014, 02:58

Kimyaci

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Oh, na gut dann komme ich mit den neuen Ableitungen auf:

$\begin{eqnarray*} T_f^3(x,0) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x+x_0) + \frac{f''(x_0)} 2 \cdot (x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)} 6 \cdot (x-x_0)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_f^3(x,0) = x^2 - x^3 \end{eqnarray*}$

Und der Rest dann:

$\begin{eqnarray*} R_3(x) = \frac{f^(4) (\xi)}{4!} \cdot x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_3(x) = \frac{e^{-\xi} \cdot (\xi^2-8\xi+12)}{4!} \cdot x^4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das überhaupt so, dass ich da einfach nur $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ einsetze?

Und nun der Grenzwert davon:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\xi} \cdot (\xi^2-8\xi+12)}{4!} \cdot x^4 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich das mit den Hinweis bzw. was soll mir $\begin{eqnarray*} \xi = \xi(x) \end{eqnarray*}$ sagen?

07.02.2014, 04:35

Dopap

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RE: Taylorentwicklung
eigentlich solltest du

c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{R_3(x)}{x^3} = 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

07.02.2014, 04:51

Kimyaci

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Hups:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f^{(4)}(\xi) \cdot x^4}{4! \cdot x^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\xi} (\xi^2-8\xi+12)\cdot x}{4!} =0 \end{eqnarray*}$

Ändert aber an meinem Verständnisproblem nicht viel. verwirrt

07.02.2014, 05:19

Dopap

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da $\begin{eqnarray*} \xi=\xi(x,0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\xi<x \end{eqnarray*}$ gilt , ist $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-\xi} (\xi^2-8\xi+12)}{4!} \end{eqnarray*}$ beschränkt aber im Grenzwert nicht null. d.h.

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) \end{eqnarray*}$ nähert sich Null flacher als $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ oder mit der Ordnung $\begin{eqnarray*} C\cdot x^4 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, dass der Fehler in einer Umgebung von Null sehr klein ist, kurz: die Approximation

$\begin{eqnarray*} T_3(x,0) \end{eqnarray*}$ ist sehr gut. Meiner Meinung nach

07.02.2014, 05:31

Kimyaci

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Zitat:

ist $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-\xi} (\xi^2-8\xi+12)}{4!} \end{eqnarray*}$ beschränkt aber im Grenzwert nicht null.

Für $\begin{eqnarray*} \xi \to 0 \end{eqnarray*}$ wäre das doch $\begin{eqnarray*} \frac{12}{4!} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ? Aber was hast du mit dem x gemacht? Da stand ja vorher dieser große Ausdruck multipliziert mit x... verwirrt

07.02.2014, 05:34

Dopap

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der Grenzwert mit x ist ja klar!

Ich wollte nur zur Interpretation den Vorfaktor getrennt betrachten.

07.02.2014, 05:41

Kimyaci

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Ach soo, okay vielen Dank. smile

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