Bevölkerungsabnahme

06.02.2014, 17:38

Bonheur

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Bevölkerungsabnahme

Ein Land hat 30 Millionen Einwohner. Seine Bevölkerung verringert sich mit der Abnahmerate $\begin{eqnarray*} N'(t)=-0,2 \cdot e^{-0,02t} \end{eqnarray*}$ .

a) Stellen Sie die Bestandsfunktion $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ auf.

b) Welcher Untergrenze nähert sich die Bevölkerungszahl langfristig?

c) Wann hat die Bevölkerungszahl sich um 30 % ihres ursprünglichen Bestands verringert?

d) Wie groß ist die durchschnittliche Abnahmerate der ersten 5 Jahre ?

[attach]33136[/attach]

06.02.2014, 18:06

Gast11022013

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Was ist denn die genaue Frage?
Bzw. was sind deine eigenen Ideen?

06.02.2014, 18:14

Bonheur

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In der Aufgabe a) würde ich einfach die Stammfunktion bilden:

$\begin{eqnarray*} \int \! -0,2 \cdot e^{-0,02t} \, dt=-0,2 \cdot \int \! e^{-0,02t} \, dt=-0,2 \cdot \frac{1}{-0,02} \cdot e^{-0,02t} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich zu den anderen Aufgaben keine Idee unglücklich

unglücklich

06.02.2014, 18:24

Gast11022013

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Vergiss die Integrationskonstante nicht. Zum Zeitpunkt Null sind 30 Millionen Einwohner vorhanden.

b) Hier ist die Asymptote gesucht.

c) Wann erreicht die Funktion 30% vom Anfangsbestand?

d) Lege eine lineare Funktion durch die beiden relevanten Punkte.

06.02.2014, 18:30

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}0,2 \cdot e^{-0,02t}=0 \end{eqnarray*}$

So hier ?

Wie kommt man aber darauf ? Wie sollte man die Antwort formulieren ?

06.02.2014, 18:38

Gast11022013

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Uns interessiert ja wie sich der Bevölkerungsbestand langfristig verhält. Du musst also den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$ betrachten. Und hier musst du darauf achten, dass deine Funktion noch nicht ganz vollständig ist. Wir brauchen ja 30 Millionen Menschen am Anfang.

Ich gehe dabei davon aus, dass die Einteilung auf der y-Achse in Millionen vorgenommen wird.

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06.02.2014, 18:48

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \, 10 \cdot e^{-0,02t}+30000000=0 \end{eqnarray*}$

Wieso muss man aber "C" so wählen ?

Wenn man davon ausgeht, dass wir den Anfangsbestand suchen.

t=0

Muss man dann net die null für t einsetzen ? Wie kann es sein, dass dann für C sowas rauskommt ?

06.02.2014, 18:56

Gast11022013

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Es muss ja

N(0)=30.000.000

sein.

$\begin{eqnarray*} 10\cdot e^{-0.02\cdot 0}+c=30.000.000 \end{eqnarray*}$

So kommt man dann auf einen c-Wert von

c=2.999.990

Ich gehe davon aus, dass man aber nicht mit Millionen rechnen soll sondern einfach mit 30 und die Einteilung auf der y-Achse eben in Millionen vorgenommen wird, so dass im Endeffekt c=20 wäre. Warum denke ich so? 2.999.990 ist einfach zu ekelig.

Dein Grenzwert wäre falsch.

06.02.2014, 19:18

Bonheur

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Verstehe.

Wenn man für "C" 20 wählt, dann liegt der Grenzwert bei 20.

06.02.2014, 19:21

Gast11022013

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Genau.

Was ist mit c) und d) ?

06.02.2014, 19:27

Bonheur

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Ich habe über c nachgedacht. Wir benötigen für c den Anfangsbestand, der bei 30 Millionen liegt.

Daraus kann man folgende Überlegung starten:

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{100 \, %}=\frac{x}{70 \, %} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{30 \cdot 70 \,%}{100 \, %}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=21 \, \text{Millionen} \end{eqnarray*}$

Nun wird "ja" nach der Zeit gefragt und deshalb gilt dann:

$\begin{eqnarray*} N'(t)=21 \, \text{Millionen} \end{eqnarray*}$

Was gibt uns eigentlich N'(t) und N(t) an ? ^^

06.02.2014, 19:34

Gast11022013

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N(t) gibt dir die Anzahl der Einwohner zum Zeitpunkt t an.

Die erste Ableitung gibt ja bekanntermaßen die Steigung der Funktion an. Das bedeutet hier also um wie viele Einwohner die Einwohnerzahl abnimmt.

Steht ja auch schon im Text:

N'(t) Abnahmerate

N(t) Bestandsfunktion

Mit deiner Angegebenen Rechnung würdest du berechnen zu welchem Zeitpunkt man 21 Millionen Einwohner "gewinnt". Die erste Ableitung ist allerdings nie positiv.
Du betrachtest also die falsche Funktion.

Gesucht ist

N(t)=21

Du sollst ja eine Aussage über den Bevölkerungsbestand treffen und nicht über die Abnahmerate.

06.02.2014, 19:43

Bonheur

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Verstehe.

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot e^{-0,02t}+20=21 \, \text{Millionen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-0,02t}=\frac{1}{10} \, \text{Millionen} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(e^{-0,02t})=ln\left(\frac{1}{10}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,02t =ln\left(\frac{1}{10}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= \frac{ln\left(\frac{1}{10}\right)}{-0,02} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=115,129 \end{eqnarray*}$

Kann das sein ?

06.02.2014, 19:44

Gast11022013

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Ja.

06.02.2014, 19:46

Bonheur

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Alles Klar und man muss die Zeit in Jahren angeben oder?

Zu d) fällt mir der Differenzenquotient ein: also Intervall [0;5]

06.02.2014, 19:52

Gast11022013

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Es ist davon auszugehen, dass t in Jahren angegeben wird. Ich kann da aber nichts genaues zu sagen, weil deine oben gepostete Aufgabenstellung dazu nicht unbedingt etwas genaues hergibt, aber es sollte so sein.

d)
Jup.
Bestimme N(0) und N(5) und ermittel die Steigung.

06.02.2014, 19:59

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} m_{Sekante}=\frac{N(5)-N(0)}{5-0}=\frac{29,0484-30}{5}=-0,190 \end{eqnarray*}$

ok smile

smile

Ich habe alles verstanden, bis auf den Anfangsbestand.

Wir haben doch gesagt, dass wir nicht mit so großen Zahlen arbeiten und haben dann für C= 29.990.990 rausbekommen. Wenn wir aber nun sagen, dass wir C=20 haben, weicht dann nicht unser Ergebnis vom realen ab ?^^

06.02.2014, 20:09

Gast11022013

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Das sollte stimmen.

Zitat:

Wir haben doch gesagt, dass wir nicht mit so großen Zahlen arbeiten und haben dann für C= 29.990.990 rausbekommen. Wenn wir aber nun sagen, dass wir C=20 haben, weicht dann nicht unser Ergebnis vom realen ab ?^^

So war das nicht zu verstehen. Meine Vermutung, dass es so gemeint ist basiert einfach darauf, dass die Rechnung mit c=2.999.990 durchzuführen etwas sinnlos wäre. So hätten wir nämlich eine Untergrenze der Bevölkerung von 2.999.990 das würde heißen, dass das betrachtete Land ganze 10 Personen verliert. Das macht einfach keinen Sinn.

Auch Aufgabenteil c) wäre mit einem solchen c-Wert nicht sinnvoll lösbar.

Der Unterschied in den größen

$\begin{eqnarray*} 10\cdot e^{-0.02t} \end{eqnarray*}$ und 2.999.990 wäre einfach zu groß.

Deshalb kann die Aufgabenstellung nur so gemeint sein.

06.02.2014, 20:14

Bonheur

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Könnte man auch mit "C=30" rechnen ?

06.02.2014, 20:22

Gast11022013

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Nein, denn dann wäre der Anfangsbestand $\begin{eqnarray*} N(0)\neq 30 \end{eqnarray*}$

Die 30 basiert schon auf Fakten.

06.02.2014, 20:31

Bonheur

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Ich check das einfach nicht traurig

traurig

traurig

.

Wenn wir davon ausgehen, dass C=20 ist.

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot e^{-0,02 \cdot 0}+20=N(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 30=N(0) \end{eqnarray*}$

Und einmal

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot e^{-0,02 \cdot 0}+29999990=N(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 30000000=N(0) \end{eqnarray*}$

Kommt nicht in beiden Fällen das gleiche raus ? Wenn wir davon ausgehen, dass wir die Millionen auf der y-Achse klein gestalten ?

06.02.2014, 20:40

Gast11022013

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Nein, dass für c=29.999.990 die Aufgaben nicht sinnvoll lösbar sind hatte ich ja oben schon erklärt.

Ich denke, dass du denkst das ganze wäre komplizierter als es tatsächlich ist.
Das man c=20 wählt und nicht 29.999.990 oder was auch immer liegt einfach daran, dass man in Millionen Einheiten rechnet.

Diese "Millioneneinheit" wird auch schon in dem Vorfaktor 10 des e-Teils stecken, weshalb es nur so Sinn ergibt.
Guck mal in dein Buch. Ist zu der Aufgabe eine Grafik gegeben? Dann steht an der y-Achse wahrscheinlich sowas wie "in Millionen" oder ähnliches.

06.02.2014, 20:47

Bonheur

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Rechnet man immer so, wenn man Millioneneinheiten hat?

06.02.2014, 20:53

Gast11022013

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Kann man so nicht sagen. Hängt von der Aufgabenstellung ab.
Und diese Aufgabenstellung kann nur so gemeint sein.

Edit:

Allgemein sind die Aufgabenstellungen aber immer so, dass die Zahlen mit denen man rechnet klein sind und nicht unbedingt im Millionenbereich.

06.02.2014, 20:55

Bonheur

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Hmm^^

Also wenn man eine Untergrenze von 2.999.990 hat, wieso bedeutet das, dass man zehn Personen verliert ? Wenn die Untergrenze 20 ist, verliert man doch auch Personen oder? Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

06.02.2014, 20:58

Gast11022013

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Natürlich verliert man Personen, aber 10 Millionen und nicht nur 10.

Ich verstehe gerade auch nicht unbedingt was du nicht verstehst.

06.02.2014, 21:07

Bonheur

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Asooo

smile

Langsam fügt sich das Puzzle zusammen. Warum ist das sinnfrei, dass man anstatt 10 Millionen nur 10 Personen verliert ? Nur noch dieses Puzzelstück fehlt smile

smile

06.02.2014, 21:18

Gast11022013

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In den Medien heißt es ja zum Beispiel immer "Deutschland stirbt aus" wenn wir jetzt auf einem unendlichen Zeitraum betrachtet 10 Personen weniger werden, dann ist das wohl halb so wild.

06.02.2014, 21:19

Bonheur

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Stimmt.

smile

Das Puzzle hat sich zusammengefügt. Ich habe es verstanden smile

smile

Vielen Dank

06.02.2014, 21:29

Gast11022013

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Das ist jetzt nicht unbedingt was tiefsinniges, dass man c=20 wählt und nicht c=29.999.990

Man muss eine Zahl von beiden anpassen.
Die Aufgabenstellung ist so gestellt, dass man

$\begin{eqnarray*} N(t)=10e^{-0.02t} \end{eqnarray*}$

erhält.

Hier steckt in dem Vorfaktor 10 die "Millioneneinheit" schon drin.
Du musst also auch das c anpassen. Den sonst hättest du 29.999.990 Millionen

Wenn du das nicht machen willst, dann könntest du halt auch den Vorfaktor anpassen und ihn als 10.000.000 schreiben. Und dann kannst du auch mit 29.999.990 rechnen, wobei die Zahl dann natürlich falsch ist und es auch 20.000.000 ergeben würde wenn du N(0)=30.000.000 ausrechnest.

Jetzt rechnet man nun mal mit kleinen Zahlen lieber als mit so ekeligen großen.

Diese ganze Einschätzung von mir basiert aber einfach darauf, dass die Aufgaben zum Teil nur so sinn machen, denn die Aufgabenstellung ist was das angeht nicth unbedingt genau und ich kann verstehen, dass du dich fragst warum man nun

N(0)=30 und nicht

N(0)=30.000.000

berechnet.

06.02.2014, 21:34

Bonheur

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Verstehe.

Freude

Tanzen

Vielen Dank. Du hast mein Respekt

Respekt

.

06.02.2014, 21:40

Gast11022013

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Gern geschehen.

Und wie gesagt, dass es so ist basiert mehr auf meiner persönlichen Einschätzung. Und die Rührt daher, dass die Aufgabe eigentlich nur so Sinn macht, denn die Aufgabenstellung ist was das angeht nicht ganz genau. (Meiner Meinung nach)

06.02.2014, 21:42

Bonheur

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Alles Klar smile

smile

Ich gehe jetzt erstmal schlafen.

Ich wünsche dir eine schöne Nacht und Vielen Dank nochmal^^

Wink

Wink

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