Vollständige Induktion / Taylorpolynome und Taylorreihen

06.02.2014, 17:41

DerLux

Vollständige Induktion / Taylorpolynome und Taylorreihen

Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich habe folgende Aufgabenstellung
Sei eine Funktion $\begin{eqnarray*} f'(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$

1. Vollständige Induktion soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^n(x)=(-1)^n*f(x) \end{eqnarray*}$

Habe ich soweit fertig
$\begin{eqnarray*} f^n(x)=-1^n*f(x)=f^n+1(x)=(-1)^n+1*f(x) \end{eqnarray*}$

Die eins soll hochgestellt sein.

Nun soll ich sagen wie das Taylorpolynom 5. Grades im Stützpunkt $\begin{eqnarray*} x0=1 \end{eqnarray*}$ aussieht.

Nun habe ich da aber etwas unfassbar langes stehen.
Da ich leider nicht bei der Vorlesung war und das Skript auch ziemlich null sagend ist, bräuchte ich ein paar Ansätze, wie ich vorgehen soll.

06.02.2014, 18:45

magic_hero

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RE: Vollständige Induktion / Taylorpolynome und Taylorreihen
Wenn du ^(n+1) schreiben willst, musst du geschweifte Klammern (solche: { }) verwenden.

Ich gehe mal davon aus, dass mit $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung von f gemeint ist; normalerweise notiert man das so: $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ (kenne ich jedenfalls so).

Zitat:

Original von DerLux
1. Vollständige Induktion soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^n(x)=(-1)^n*f(x) \end{eqnarray*}$

Habe ich soweit fertig
$\begin{eqnarray*} f^n(x)=-1^n*f(x)=f^{n+1}(x)=(-1)^{n+1}*f(x) \end{eqnarray*}$

Das ist ein bisschen seltsam aufgeschrieben.... das rechte Gleichheitszeichen sollst du doch im Induktionsschritt zeigen. Was das links bedeuten soll, verstehe ich nicht, da fehlen wohl außerdem Klammern um die -1. Wie geht hier die Induktionsvoraussetzung ein? Schreib das bitte noch mal sauber auf.

Zitat:

Original von DerLux
Nun soll ich sagen wie das Taylorpolynom 5. Grades im Stützpunkt $\begin{eqnarray*} x0=1 \end{eqnarray*}$ aussieht.

Nun, das sollte eigentlich ganz einfach sein. Für die Funktion f hast du ja die obige Eigenschaft per Induktion nachgerechnet. Setze dies ein, wenn du das Taylorpolynom berechnest. Das sollte die Sache immens vereinfachen.

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