Adjunkte, Inverse und Determinante

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06.02.2014, 20:33	algebrust	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjunkte, Inverse und Determinante Für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A_x = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Gebe die zu A_x adjunkte Matrix adj(A_x) an. Habe ich gemacht und komme auf: $\begin{eqnarray} adj(A_x) = \begin{pmatrix} 1-3x & -5 & 2x+1 \\ -2 & 4 & -4x - 2 \\ 6 & -12 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Bestimme den (eindeutigen) Wert $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , für welchen die Matrix A_y nicht invertierbar ist. Gebe für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R, x \neq y \end{eqnarray}$ , die eindeutige Lösung des Gleichungssystems A_x b = w für $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den ersten Aufgabenteil habe ich gelöst. Das komm.e ich auf x = - (1/2) Beim zweiten komme ich nicht weiter. Ich habe es mit dem Gaußalgorithmus probiert, aber komme zu nichts... Habt ihr einen Tipp bzw. einen anderen Ansatz? Dankeschön
07.02.2014, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix ist genau dann nicht invertierbar, wenn die Determinante gleich 0 ist. Wenn schon bekannt ist, dass x eindeutig ist, musst du nur die ersten beiden Zeilen scharf ansehen.
07.02.2014, 14:03	algeburst	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis und vielen Dank für deine Antwort. Ich habe die Aufgabe falsch aufgeschrieben, es müsste heißen: b) Bestimme den (eindeutigen) Wert $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , für welchen die Matrix A_y nicht invertierbar ist. Gebe für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R, x \neq y \end{eqnarray}$ , die eindeutige Lösung des Gleichungssystems A_x b = w für $\begin{eqnarray} w = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So den ersten Teil habe ich gelöst, genau wie du gesagt hast, habe ich die Determinante gebildet und Null gesetzt, dabei komme ich auf y = -1/2. Nur beim zweiten Aufgabenteil, also da wo ich das b finden muss komme ich nicht weiter. Ich habe es einfach mit dem Gauss-Algorithmus probiert. 4 2 -1 \| 2 2 1 x \| -2 0 3 1 \| 0 Für den Lösungsvekor $\begin{eqnarray} b = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ komme ich nach einer Zeilenumformung auf $\begin{eqnarray} c = \frac{6}{-2x-1}. \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig?
07.02.2014, 14:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, der Nenner ist ein bißchen falsch. Dann noch die 3. Zeile durch 3 von der 2. Zeile abziehen, die 2. Zeile durch 2, und Gauß ist fertig.
07.02.2014, 15:16	algeburst	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die erste Zeile mit $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ multipliziert und mit der zweiten addiert. Dabei entstehen gleich zwei Nullen: 4 2 -1 \| 2 0 0 0.5+x \| -3 0 3 1 \| 0 Nun kann ich die zweite und dritte Zeile vertauschen und ich habe meine Dreiecksform: 4 2 -1 \| 2 0 3 1 \| 0 0 0 0.5+x \| -3 Dann komme ich durch die dritte Zeile auf: $\begin{eqnarray} c = \frac{-3}{0.5+x}. \end{eqnarray}$ und dann durch die zweite auf: $\begin{eqnarray} b = \frac{-1}{0.5+x} \end{eqnarray}$ und durch die erste auf: $\begin{eqnarray} a = 0.5 - \frac{1}{2+4x} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?
07.02.2014, 16:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
b und c ist in Ordnung, bei a muss x in Zähler und Nenner stehen bleiben.
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08.02.2014, 15:45	algeburst	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Hinweis, dann rechne ich a nochmal vor: $\begin{eqnarray} 4a + 2b -1c = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a - \frac{ 2}{0.5+x} + \frac{3}{0.5+x} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a(0.5+x) -2 + 3 = 2(0.5+x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a(0.5+x) = 2(0.5+x) -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a = 2 - \frac{1}{0.5+x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{2} - \frac{1}{2+4x} \end{eqnarray}$ Komme leider wieder auf dasselbe.. Habe auch eine Probe mit x=3 gemacht und komme auf den Vektor (2,-2,-1.6....), das heißt es ist wirklich etwas falsch, wobei es fast richtig ist. Was habe ich falsch gerechnet? Ich weiß nicht, wo da ein x im Zähler stehen könnte..
08.02.2014, 19:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind nahe dran an der Lösung. Wenn du dein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ weiter berechnest, ist das $\begin{eqnarray} a=\frac {2x}{2+4x}=\frac {0.5x}{x+0.5} \end{eqnarray}$ . Hiermit ist meiner Forderung genüge getan, dass x auch im Zähler stehen muss. Leider hatte ich vorher einen Vorzeichenfehler übersehen: wegen $\begin{eqnarray} 3b+c=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} b=-\frac c 3 = \frac 1 {x+0.5} \end{eqnarray}$ . Damit ergibt sich eine etwas anderes $\begin{eqnarray} a=\frac {0.5x-1}{x+0.5} \end{eqnarray}$ (BITTE NACHRECHNEN) , und damit löst sich alles in Wohlgefallen auf. "Das war eine schwere Geburt."
08.02.2014, 20:40	algebrust	Auf diesen Beitrag antworten »
Yipiieee Danke für die Geduld Elvis Eine Frage habe ich noch. Wäre es mit der Cramerschen Regel einfacher gewesen? Also ich habe mich auch daran versucht, aber ohne Übung, und bin auch auf falsche Werte gekommen. Oder meinst du schneller als mit dem Gauß hätten wir es nicht hinbekommen können? Viele Grüße
09.02.2014, 10:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Anfang habe ich die Determinante mit der Sarrus'schen Regel berechnet. Das liefert die Gewißheit, $\begin{eqnarray} det(A_x)=0\Leftrightarrow x=-\frac 1 2 \end{eqnarray}$ . Also ist das LGS genau dann eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray} x\ne \frac 1 2 \end{eqnarray}$ . Für die Berechnung der Lösung ist dann der Gaußsche Algorithmus (so wie fast immer) die beste Methode. Als Probe solltest du noch berechnen $\begin{eqnarray} \begin {pmatrix} 4&2&-1\\2&1&x\\0&3&1\end {pmatrix}\begin {pmatrix}\frac{0.5x-1}{x+0.5}\\ \frac{1}{x+0.5}\\ \frac{-3}{x+0.5}\end{pmatrix}=...=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .

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