Wirbelfreiheit

06.02.2014, 21:45	MaxMeuse2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirbelfreiheit Meine Frage: Hi zusammen! Gegeben sei das Vektorfeld $\begin{eqnarray} A=(\alpha \frac{xy^{3}}{z^{2}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 3\frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta\frac{x^{2}y^{3}}{z^{3}} +3) \end{eqnarray}$ a) Berechnen Sie die Rotation des Feldes. b) Für welche Werte der Konstanten $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ lässt sich A als Gradient eines skalaren Feldes $\begin{eqnarray} \phi (r) \end{eqnarray}$ darstellen. Geben sie $\begin{eqnarray} \phi (r) \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen:* Ich habe die Rotation vom Vektorfeld berechnet. $\begin{eqnarray} rot(A)=\begin{pmatrix} 3x^{2}y^{2}z^{-3}(\beta + 2) \\ -2xy^{3}z^{-3}(\alpha +\beta) \\ 3xy^{2}z^{-2}(2-\alpha ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Jedoch weiss ich leider nicht wie ich bei b vorgehen soll. Wäre nett, wenn jemand einen Lösungsansatz hätte. mfg Max
07.02.2014, 12:21	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt folgender Satz: Wenn rot(A)=0, dann existiert ein Skalarfeld U, so dass grad(U)=A. Du muss die Konstanten alpha, beta also so wählen, dass dein ausgerechnetes Feld rot(A) verschwindet. Das ist offenbar der Fall, wenn alpha=+2 und beta=-2.
07.02.2014, 17:51	MaxMeuse2	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalares Feld Vielen Dank für die Rückmeldung! Somit wurde nun $\begin{eqnarray} \alpha und \beta \end{eqnarray}$ bestimmt. Wenn ich nun das skalare Feld bestimmen möchte, wäre meine Vorgehensweise: x-Komponente nach x integrieren + eine Konstante die von (y,z) abhängt, y-Komponente nach y integrieren + eine Konstante die von (x,z) abhängt, z-Komponente nach z integrieren + eine Konstante die von (x,y) abhängt. Nun würde ich vergleichen, was die integrieren Komponenten gemeinsam haben und somit das skalare Feld aufschrieben. Ist das richtig? mfg Max

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