Approximation der Kosinusfunktion durch Taylorpolynome

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07.02.2014, 05:08	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Approximation der Kosinusfunktion durch Taylorpolynome Gegeben sei eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \cos(x) \end{eqnarray}$ , berechnen Sie das dritte Taylorpolynom im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0 = - \pi \end{eqnarray}$ . Approximieren Sie $\begin{eqnarray} \cos(2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(-2) \end{eqnarray}$ mit Hilfe des Taylorpolynoms. Sie dürfen einen Taschenrechner benutzen um eine Dezimalzahl (zwei Nachkommastellen, nicht gerundet) hinzuschreiben. Wie kommt der Unterschied der Approximation zustande? Welcher Wert ist genauer? Ich hab einfach mal drauf losgerechnet: $\begin{eqnarray} f(x) = \cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = - \sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = - \cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = \sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{(4)} (x) = \cos(x) \end{eqnarray}$ Damit lässt sich die Funktion darstellen als: $\begin{eqnarray} f(x) = T_f^3(x,-\pi) +R_3(x,x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) + \frac 1 2 f''(x_0) (x-x_0)^2 + \frac 1 6 f'''(x_0) (x-x_0)^3 +R_3(x,x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = -1 + 0 \cdot (x+\pi) + \frac 1 2 (x+\pi)^2 + \frac 1 6 \cdot 0 (x+\pi)^3 + \underbrace{\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} x^4}_{\approx 0} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun x = 2 einsetze: $\begin{eqnarray} \cos(2) = -1 + \frac 1 2 (2+\pi)^2 \approx 12,217... \end{eqnarray}$ Allerdings soll $\begin{eqnarray} \cos(2) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \cos(2) = -0,41... \end{eqnarray}$ sein. Egal wie sehr ich danach suche, ich finde meinen Fehler nicht.. die Abweichung ist ja schon sehr groß...
07.02.2014, 05:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
du solltest cos(-2) bestimmen! noch was: könntest du dein f(x) in einer letzten Zeile noch von Nullen etc. bereinigen, damit es lesbarer wird.
07.02.2014, 05:36	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es gilt doch aufgrund von Symmetrieeigenschaften des Kosinuses: $\begin{eqnarray} \cos(2) = \cos(-2) \end{eqnarray}$ ? Ach, ich hatte einen Vorzeichenfehler. Ok, in lesbarere Form: $\begin{eqnarray} \cos(x) = -1+ \frac{1}{2} (x+\pi)^2 + R_3(x) \end{eqnarray}$ Für x=-2: $\begin{eqnarray} \cos(-2) \approx -1+ \frac{1}{2} (\pi-2)^2 = -0,34 \end{eqnarray}$ Mit TR: $\begin{eqnarray} \cos(-2) = -0,41... \end{eqnarray}$ Der Wert vom TR ist genauer, weil ich den Fehler $\begin{eqnarray} R_3(x) \end{eqnarray}$ ignoriert habe?
07.02.2014, 05:48	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
cos(2)=cos(-2) = -0.41 ist richtig. $\begin{eqnarray} T_3(-2,-\pi)=-0.34 \end{eqnarray}$ auch. Es fehlt noch $\begin{eqnarray} T_3(2,-\pi)=... \end{eqnarray}$ bitte nicht cos(-2) schreiben, wenn $\begin{eqnarray} T_3(-2,-\pi) \end{eqnarray}$ gemeint ist. Das bringt Verwirrungen.
07.02.2014, 05:51	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok entschuldige. $\begin{eqnarray} T_3(2, -\pi) = -0,34 \end{eqnarray}$ ?
07.02.2014, 06:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
einfach ausrechnen und nicht raten ! $\begin{eqnarray} T_3(x,-\pi) \end{eqnarray}$ ist nicht symmetrisch !
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07.02.2014, 06:08	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehm.. da muss doch -0,34 rauskommen. Wenn ichs ausrechne: $\begin{eqnarray} T(2,-\pi)=12.21 \end{eqnarray}$ Huh.. was ist denn da schief gelaufen.. ?
07.02.2014, 06:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
gar nix ist schief gelaufen.
07.02.2014, 06:23	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für den Hinweis.
07.02.2014, 07:46	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt klar woher der Unterschied zwischen T_2(-2) und T_2(2) kommt ? Nochwas: das Restglied ist nicht ungefähr Null.

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