Differenzierbarkeit, nicht definierter Ausdruck

07.02.2014, 11:26

Kimyaci

Differenzierbarkeit, nicht definierter Ausdruck

Das Thema scheint für mich am unklarsten zu sein, deswegen noch mal eine neue Frage dazu.

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stückweise definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}<br /> (x+1)^2 \ \ln(x+1), & \text{für} \ \ x > - 1\\<br /> 0, & \text{für} \ \ x \leq - 1<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Untersucht werden soll auf Differenzierbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x= -1 \end{eqnarray*}$ und anschließend auf Stetigkeit an derselben Stelle.

Linksseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Rechtsseitiger Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt; wie soll ich f(-1) berechnen? Wenn ich x = -1 einsetze in $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \ \ln(x+1) \end{eqnarray*}$ dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \ln(0) \end{eqnarray*}$ , was nicht definiert ist..

07.02.2014, 11:49

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit, nicht definierter Ausdruck
f(-1) mußt Du mit der Funktionsvorschrift bilden, die in dem Abschnitt, der x = -1 enthält, gilt. Da ist der Funktionswert ja aber schon fest vorgegeben.

07.02.2014, 11:52

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich nähere mich doch von der anderen Seite an? verwirrt

Ok, also $\begin{eqnarray*} f(-1) = 0 \end{eqnarray*}$ , somit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{(x+1)^2 \ln(x+1)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \downarrow 0} (x+1) \ln(x+1) = 0 \end{eqnarray*}$

Ok die Funktion ist an der Stelle differenzierbar, daraus folgt, dass sie dort auch stetig ist. Eine weitere wichtige Frage: Wenn die Funktion z.B. an dieser Stelle nicht differenzierbar wäre, wäre sie dann auch unstetig?

07.02.2014, 12:10

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimyaci
Ok die Funktion ist an der Stelle differenzierbar, daraus folgt, dass sie dort auch stetig ist.

Im Prinzip ja, falls die Funktion tatsächlich differenzierbar ist.
Aber soll man hier wirklich erst Differenzierbarkeit und dann Stetigkeit prüfen. Umgekehrt wäre eigentlich korrekt. Bei nicht differenzierbaren Funktionen kann man mit verschiedenen Formeln nämlich verschiedene Grenzwerte der Sekantensteigungsfunktion erhalten. D. h. wenn man nur eine Formel benutzt, kriegt man zwar ein Ergebnis, aber das muß nicht unbedingt richtig sein, wenn die Funktion eigentlich nicht differenzierbar ist.

Zitat:

Original von Kimyaci
Eine weitere wichtige Frage: Wenn die Funktion z.B. an dieser Stelle nicht differenzierbar wäre, wäre sie dann auch unstetig?

Dazu fällt Dir bestimmt ein Schulbeispiel einer nicht differenzierbaren, aber stetigen Funktion ein.

07.02.2014, 12:16

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens: Bei Deinem letzten Beitrag soll der Limes doch wohl weiter gegen -1 gehen! Schreibfehler?

07.02.2014, 12:16

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ist doch in Ordnung so, aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, nicht umgekehrt. Kann ich eigentlich darauf schließen, dass die Funktion als Ganzes differenzierbar ist? Die "kritische" Stelle habe ich ja überprüft... der Rest der Funktion müsste doch differenzierbar sein (da der Logarithmus differenzierbar ist, usw.).

Wg. Beispiel: Nicht das ich wüsste... aber okay dann müsste ich die Stetigkeit auch noch mal getrennt überprüfen.

Edit: Ups.. geht das Ganze denn trotzdem gegen Null? Jetzt bin ich verwirrt, weil ich da wieder $\begin{eqnarray*} \ln(0) \end{eqnarray*}$ hab.

07.02.2014, 12:23

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimyaci
Nein ist doch in Ordnung so, aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, nicht umgekehrt.

Wie gesagt, falls tatsächlich Differenzierbarkeit vorliegt, was Stetigkeit voraussetzt.

Ansonsten ist die Funktion als Produkt stetiger, differenzierbarer Funktionen unproblematisch.

Bei der Grenzwertbildung hilft hier L'Hospital.

07.02.2014, 12:28

Kimyaci

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, alles klar.

L'Hospital.. aber dann müsste ich doch einen Bruch haben. Ach, da fällt mir was ein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -1} \frac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1}} \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \downarrow -1} \frac{\frac{1}{x+1}}{-(x+1)^{-2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \downarrow -1} \frac{1}{-(x+1)^{-2} (x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \downarrow -1} \frac{(x+1)^{2}}{- (x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \downarrow -1} - (x+1) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt passt es. Dankeschön. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit, nicht definierter Ausdruck

Verwandte Themen