Lagrangesche Restglieddarstellung

07.02.2014, 12:19

Kimyaci

Lagrangesche Restglieddarstellung

Hab hier eine Aufgabe mit Musterlösung, bei der ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann. Die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:[-1,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ .

a) Geben Sie das zweite Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_f^2(x,x_0) \end{eqnarray*}$ an der Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} x_0=3 \end{eqnarray*}$ an.

b) Geben Sie das dazugehörige Restglied $\begin{eqnarray*} R_3(x,3) \end{eqnarray*}$ an.

Das Taylorpolynom war kein Problem, aber beim Restglied kann ich eine Sache nicht ganz nachvollziehen. Die allgemeine Darstellung:

$\begin{eqnarray*} R_n(x,x_0) = \frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Die dritte Ableitung ist auf jeden Fall (Kontrolle nicht nötig):

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x) = \frac{3}{8 (x+1)^{\frac 5 2} } \end{eqnarray*}$

Damit ist das Restglied:

$\begin{eqnarray*} R_3(x,3) = \frac{3}{8 \cdot 3! \cdot (\xi+1)^{\frac 5 2}} (x-3)^{3} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine Zahl ist zwischen x und 3.

$\begin{eqnarray*} R_3(x,3) = \frac{1}{16 \cdot (\xi+1)^{\frac 5 2}} (x-3)^{3} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles okay. Den nächsten Schritt verstehe ich jetzt nicht. Ohne Anmerkung/Abschätzung oder Sonstiges wird einfach:

$\begin{eqnarray*} R_3(x,3) = \frac{1}{16 \cdot (\xi+1)^{\frac 5 2}} (x-3)^{3} = \frac 1 {16} (x-3)^{3} \end{eqnarray*}$

Wohin ist $\begin{eqnarray*} (\xi+1)^{\frac 5 2} \end{eqnarray*}$ verschwunden? Da steht ja auch kein Approximationszeichen, sondern man geht wirklich davon aus, dass der Term überhaupt keine Rolle spielt. Ist das so ein Patentrezept das wegzulassen? Da wir das nicht immer streng mathematisch machen könnte ich mir so etwas durchaus vorstellen.

Vielleicht hat es etwas damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine Zahl ist zwischen x und 3.

07.02.2014, 13:54

Dopap

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RE: Lagrangesche Restglieddarstellung

Zitat:

Original von Kimyaci

$\begin{eqnarray*} R_3(x,3) = \frac{1}{16 \cdot (\xi+1)^{\frac 5 2}} (x-3)^{3} = \frac 1 {16} (x-3)^{3} \end{eqnarray*}$

Wohin ist $\begin{eqnarray*} (\xi+1)^{\frac 5 2} \end{eqnarray*}$ verschwunden? Da steht ja auch kein Approximationszeichen, sondern man geht wirklich davon aus, dass der Term überhaupt keine Rolle spielt. Ist das so ein Patentrezept das wegzulassen? Da wir das nicht immer streng mathematisch machen könnte ich mir so etwas durchaus vorstellen.

Vielleicht hat es etwas damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine Zahl ist zwischen x und 3.

eine fragwürdige Darstellung, da hast du recht. Ein Restglied enthält immer $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$

Hier wurde das Restglied nach oben abgeschätzt, d.h. $\begin{eqnarray*} (\xi+1)^{\frac 5 2} \end{eqnarray*}$ nach unten mittels =1 , da $\begin{eqnarray*} -1< \xi < 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber das Restglied ist nun kein Restglied mehr ! Man verwendet diesen Term normalerweise um den Maximalen Fehler anzugeben:

$\begin{eqnarray*} F_{max}<| \frac 1 {16} (x-3)^{3} | \end{eqnarray*}$

07.02.2014, 14:05

Kimyaci

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Hab bei einigen Leuten rumgefragt, es scheint sich hierbei um einen Fehler zu handeln. Keine Ahnung was die Professorin sich da gedacht hat... jedenfalls müssen wir das nur bis zum $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ angeben - die Fehlerabschätzung ist nicht klausurrelevant.

Danke für die Rückmeldung (das war trotzdem sehr hilfreich). Wink

07.02.2014, 14:24

Dopap

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puh ! das war jetzt aber nicht der erste Fehler unglücklich

btw: bin froh, dass du nicht mit der Abschätzung nachgehakt hast, denn die ist nicht hasenrein^^

Man sieht sich dann bei MaxF wieder!

07.02.2014, 14:33

Kimyaci

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Ja allerdings, gibt noch genug falsche Musterlösungen. Big Laugh

Das Verständnis für die ganze Materie (also die Fehlerabschätzung, was Taylorpolynome graphisch bedeuten, usw.) lerne ich in Ruhe nach meiner letzten Klausur (also so gegen Ende diesen Monats). Wenn ich Mathe morgen hinter mir hab hast du erst mal ein wenig Ruhe vor mir. ^^

Die Redewendung mit MaxF ist mir nicht geläufig.. aber okay, wir sehen uns dort wieder. Wink

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