Rechnen in endlichen Koerpern

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lalaland Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen in endlichen Koerpern
Meine Frage:
Hallo,
ich beschaeftige mich gerade mit endlichen Koerpern und soll den Ausdruck im Koerper GF(5)\ x^2+x+2 berechnen.

Meine Ideen:
Die Grundlagen von endlichen Koerpern sind bekannt, bisher aber nur auf Basis von Addition und Multiplikation.
f(x)=x^2+x+2 ist in GF(5) primitiv und die Elemente des Koerpers sind auch bekannt.
Leider habe ich ueberhaupt keinen Ansatz (bis auf ), wie ich mit dem Ausdruck verfahren soll.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na aus folgt bei Division durch schon mal , und das mit multipliziert . Auf dieser Basis solltest du dann weiterkommen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne in und setze dann , d.h. suche das inverse Element zu (es kann sich ja bei beiden nur um ein Polynom höchstens 1. Grades handeln).

Nachtrag: Eine Stunde später habe ich beide Möglichkeiten durchgerechnet, bin ganz sicher, dass (modulo Rechenfehler) das gleiche Ergebnis herauskommen muss, und (selbstverständlich) kommen zwei verschiedene Ergebnisse heraus. Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
und (selbstverständlich) kommen zwei verschiedene Ergebnisse heraus. Big Laugh

Also bei mir nicht. smile

Hilfreich ist hier, als Zwischenresultat über dann zu berechnen, denn das ist nur eine Zahl (d.h. ohne linearen x-Anteil), gleiches gilt natürlich für .
lalaland Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank,
der Ansatz von Elvis hat geholfen und nach langer Rechnung habe ich das imposante Ergebnis: 3 Augenzwinkern - Immerhin Element des Koerpers.
Da die Rechnung aber recht lang ist, kann es durchaus sein, dass sich da ein Fehler eingeschlichen hat, aber die generelle Frage nach dem Prinzip ist beantwortet.
Warum man auf 2 Loesungen kommen koennte ist mir aber nicht ganz klar...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz bestimmt haben wir uns verrechnet, sonst müsste eine eindeutige Lösung herauskommen. Jetzt haben wir schon drei verschiedene Ergebnisse. smile
Nach der "Methode HAL 9000" komme ich auf 3x+4, nach der "Methode Elvis" auf 3x+3.

Ein Element des Primkörpers kann nicht das Inverse von sein, da die Elemente der multiplikativen Gruppe des Primkörpers sich gegenseitig invertieren : 1*1=1, 2*3=1, 4*4=1 Lehrer
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Nach der "Methode HAL 9000" komme ich auf 3x+4, nach der "Methode Elvis" auf 3x+3.

Ich bekomme mit beiden Methoden 3x+4.


P.S.: Meine Zwischenresultate "Methode Elvis":





Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt (und ist eindeutig). Der Rechenweg über vereinfacht die Rechnung erheblich. Danke.
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