Polynome in Q[x]

07.02.2014, 12:53

Matheversteher

Polynome in Q[x]

Hallo alle zusammen Wink

Ich habe folgende Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ und soll sie auf Nullstellen speziell in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ untersuchen und bestimmen

1) $\begin{eqnarray*} x^5+5x+5 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} x^5+6x^3+3x+4 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} x^4-5x^3+6x^2+4x-8 \end{eqnarray*}$

Ideen:
zu 3) lässt sich einfach faktorisieren in $\begin{eqnarray*} (x+1)(x-2)^3 \end{eqnarray*}$ somit können hier keine komplexen Nullstellen vorhanden sein.

zu 1) und 2) Hier habe ich erst mit Eisenstein (nur bei 1) ) darauf geschlossen, dass das Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Also habe ich mir überlegt, dass ich ja mit dem Zwischenwertsatz aus der Analysis auf Nullstellen schließen kann. Ich habe so eine Nullstelle gefunden in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ das heißt ich habe 2 + 2 komplexe Nullstellen. Also zwei + ihre komplex Konjugierten. Mehr Nullstellen sind also nicht drin.

Deswegen nun meine Frage, wie kann ich die komplexen Nullstellen bestimmen? Oder ist mit "bestimmen" die Anzahl der komplexen Nullstellen gemeint?

Habe erst überlegt ob ich das nicht besser in der Analysis poste aber es handelt sich hierbei um eine Übungsaufgabe aus der Algebra.

Vielen Dank für eure Hilfe smile

07.02.2014, 13:35

Louis1991

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RE: Polynome in Q[x]
Hallo,

Wie ist die genaue Aufgabenstellung? Um zu sehen, dass die Polynome (i) und (ii) in $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle haben, brauchst du kein Eisenstein. Dazu reicht es, die 4 möglichen rationalen Nullstellen zu überprüfen (wobei das Geschmackssache ist - Eisenstein ist halt insofern stärker, als dass es auch noch zusätzlich zeigt, dass die Polynome irreduzibel über $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ sind, was nicht äquivalent dazu ist, keine Nullstelle zu haben)

Jeweils aus monoton steigend und nicht-konstant folgt bei (i) und (ii), dass es genau eine reelle Nullstelle gibt. Also jeweils 4 nicht-reelle Nullstellen.
Die "genau" zu stimmen, ist im Allgemeinen aber nicht möglich.
Und auch hier sehe ich keine schöne Methode.

07.02.2014, 13:56

Matheversteher

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Hallo Louis,

die genaue Aufgabenstellung lautet:
"Untersuchen Sie, ob die Polynome 1) 2) 3) aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ mehrfache Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ besutzen und bestimmen Sie diese gegebenfalls."

Zitat:

Zitat
Jeweils aus monoton steigend und nicht-konstant folgt bei (i) und (ii), dass es genau eine reelle Nullstelle gibt. Also jeweils 4 nicht-reelle Nullstellen. Die "genau" zu stimmen, ist im Allgemeinen aber nicht möglich. Und auch hier sehe ich keine schöne Methode.

Das habe ich mir irgendwie gedacht, denn in meinem Skript konnte ich nichts dazu finden.

Frage:
Sind Polynome der Form $\begin{eqnarray*} x^5+ax+c \end{eqnarray*}$ überhaupt reduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?
Und eine weitere Frage (fange gerade an mich damit zu beschäftigen), kann ich nun von der Anzahl der Nullstellen auf die Galoisgruppe schließen oder auf eine isomorphe Gruppe ? Denn die Galoisgruppe bildet Nullstellen ja immer auf Nullstellen ab.

07.02.2014, 15:29

Louis1991

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Zitat:

Original von Matheversteher
Hallo Louis,

die genaue Aufgabenstellung lautet:
"Untersuchen Sie, ob die Polynome 1) 2) 3) aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ mehrfache Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ besutzen und bestimmen Sie diese gegebenfalls."

Ich habe immernoch keine Ahnung, wie man Nullstellen dieser Polynome bestimmen könnte, aber hier eine Methode, um zu zeigen, dass sie keine mehrfachen Nullstellen haben:

Bilde die Ableitung der Polynome, bestimme die Nullstellen der Ableitung und zeige, dass sie keine Nullstellen des eigentlichen Polynoms sind.

Zu den anderen Fragen: es gibt sicher solche Polynome, die reduzibel sind.
z.B. $\begin{eqnarray*} x^5 + x - 2 \end{eqnarray*}$
Falls so ein Polynom jedoch keine Nullstelle hat, ist es (einfache Rechnung) irreduzibel über $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ .
Zu den Galoisgruppen: da bin ich vielleicht der falsche, um gefragt zu werden, weil ich mit Galoistheorie zwar relativ viel, aber trotzdem mehr so am "Rande" zu tun habe. Im Fall 3. ist die Galoisgruppe natürlich trivial, bei den anderen beiden sehe ich jetzt keine schnelle Lösung. Aber das mag am fehlenden Wissen liegen.

07.02.2014, 17:45

Matheversteher

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Zitat:

Original von Louis1991
Zu den anderen Fragen: es gibt sicher solche Polynome, die reduzibel sind.
z.B. $\begin{eqnarray*} x^5 + x - 2 \end{eqnarray*}$
Falls so ein Polynom jedoch keine Nullstelle hat, ist es (einfache Rechnung) irreduzibel über $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ .

Da habe ich die Hälfte des Inhalts meiner Frage vergessen und trotzdem die Antwort bekommen, die ich haben wollte. Genau das wollte ich wissen. Freude

Zu meiner Frage mit den Galois-Gruppen und Nullstellen:

Zitat:

Inhalt
Zu den Galoisgruppen: da bin ich vielleicht der falsche, um gefragt zu werden, weil ich mit Galoistheorie zwar relativ viel, aber trotzdem mehr so am "Rande" zu tun habe. Im Fall 3. ist die Galoisgruppe natürlich trivial, bei den anderen beiden sehe ich jetzt keine schnelle Lösung. Aber das mag am fehlenden Wissen liegen.

Ich habe in meinem Skript eine Folgerung gefunden, " Die Galois-Gruppe eines Polynoms kann als Permutationsgruppe auf den Nullstellen aufgefasst werden. " (Wird aus der Ordnung der Galois-Gruppen und aus den Gruppen der Automorphismen (die Nullstellen auf Nullstellen abbilden) geschlossen, wenn ich das richtig verstehe.)

Wenn ich bei mal Beispielhaft bei Aufgabe 5 bleibe, kann ich dann aufgrund der Nullstellen (5 Stück) darauf schließen, dass es eine Permutation mit 5 Elementen ist (etwa die $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ ) ? Oder ist das falsch?

07.02.2014, 18:12

micha_L

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Hallo,

ist das ein Fernstudium? Oder warum habe ich den Eindruck, dass du die Vorlesung nicht besuchst?

Zitat:

Original von Matheversteher
[...]
die genaue Aufgabenstellung lautet:
"Untersuchen Sie, ob die Polynome 1) 2) 3) aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ mehrfache Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ besutzen und bestimmen Sie diese gegebenfalls."
[...]

Es geht ja immerhin um mehrfache Nullstellen!
Ganz sicher habt ihr gerade die Methode des formalen Ableitens in der Vorlesung gehabt. Und ganz sicher sollst du die jetzt anwenden.

Mfg Michael

08.02.2014, 11:42

Matheversteher

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Hallo micha_L,

danke für deine Hilfe. Aber, wenn ich mich nicht verrechnet habe, so lässt sich kein ggT finden. verwirrt

Also ich versteh das doch richtig, dass ich einen ggT finden soll.
Das einzige, was mir spontan noch einfällt ist der Satz von Rolle (ich glaube, dass er das ist), dass mehrfache Nullstellen auch in der Ableitung wieder eine Nullstelle sind. Aber kann ich das auch für komplexe Nullstellen anwenden?

Und kannst du mir die Frage beantworten Die ich in den letzten beiden Absätzen des meines letzten Posts gestellt habe?

P.S. Nein ich mache kein Fernstudium Augenzwinkern

Ich rechne zur Zeit Übungsaufgaben von vor mehreren Jahren, dafür lassen sich aber meistens nur schlecht Lösungen finden. Ich möchte ja schließlich wissen ob, dass was ich getan habe richtig ist, wo Fehler sind und wo es evtl "Abkürzungen" gibt.

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