Integration der Floor-Funktion

07.02.2014, 12:00	voodoo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration der Floor-Funktion Folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^n \! \left[x\right] \, dx \end{eqnarray}$ n ist eine natürliche Zahl. Meiner Meinung nach ist das Integral gleich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n n-1 \end{eqnarray}$ Wie Beweise ich das? MfG
07.02.2014, 12:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n (k-1) \end{eqnarray}$ ? Die Klammern da sind unbedingt nötig! Der Nachweis gelingt durch Intervallaufteilung des Integrationsgebietes $\begin{eqnarray} \int\limits_0^n \lfloor x \rfloor ~ \dd x = \sum_{k=1}^n \int\limits_{k-1}^k \lfloor x \rfloor ~ \dd x \end{eqnarray}$ Und für $\begin{eqnarray} x\in[k-1,k) \end{eqnarray}$ gilt nun mal $\begin{eqnarray} \lfloor x \rfloor = k-1 \end{eqnarray}$ .

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