Analytische Geometrie

07.02.2014, 13:22

Cevas

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Analytische Geometrie

Meine Frage:
Gegeben sind d1 und d2 zwei Geraden, die sich in O schneiden. d3 ist weder zu d1 noch zu d2 parallel. Eine weitere Gerade d4, die zu d3 parallel ist, schneidet d1 in A und d2 in B. Bestimme die kartesische Gleichung des Punktes P, der stets der Mittelpunkt der Strecke AB ist, wenn d4 variiert.
Die Antwort soll ohne Verwendung eines Achsensystemes angegeben.

Meine Ideen:
Ich habe versucht zu zeigen, dass man eine Gerade bekommt. Aber selbst an diesem Anfang, habe ich gescheitert!!

07.02.2014, 14:26

riwe

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RE: Analytische Geometrie

Zitat:

Original von Cevas
Meine Frage:
Gegeben sind d1 und d2 zwei Geraden, die sich in O schneiden. d3 ist weder zu d1 noch zu d2 parallel. Eine weitere Gerade d4, die zu d3 parallel ist, schneidet d1 in A und d2 in B. Bestimme die kartesische Gleichung des Punktes P, der stets der Mittelpunkt der Strecke AB ist, wenn d4 variiert.
Die Antwort soll ohne Verwendung eines Achsensystemes angegeben.

Meine Ideen:
Ich habe versucht zu zeigen, dass man eine Gerade bekommt. Aber selbst an diesem Anfang, habe ich gescheitert!!

Frage 1: und wozu ist d3 gut verwirrt

verwirrt

Frage 2: alles in R2 verwirrt

verwirrt

Frage 3: O ist was verwirrt

verwirrt

Frage 4: was verstehst du unter Achsensystem, bzw. ohne verwirrt

verwirrt

edit: d3 habe ich nun kapiert unglücklich

unglücklich

aber kartesiche Gleichung / Koordinaten ohne Koordinatensystem scheint mit schwierig

die Vermutung: Gerade scheint mir gut Freude

Freude

kannst du die Originalaufgabe schicken

07.02.2014, 15:07

Cevas

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Das ist die original Aufgabe:

On considère deux droites d1 et d2 du plan qui se coupent en un point O. On
considère une droite d3 qui n’est parallèle ni à d1 ni à d2. Une droite d4 parallèle à d3
coupe d1 en A et d2 en B. Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble que parcourt
le milieu P du segment [AB] quand d4 varie.
On demande de répondre à la question sans introduire un repère.

Ich habe sie nur treu übersetzt.

07.02.2014, 15:14

riwe

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Zitat:

Original von Cevas
Das ist die original Aufgabe:

On considère deux droites d1 et d2 du plan qui se coupent en un point O. On
considère une droite d3 qui n’est parallèle ni à d1 ni à d2. Une droite d4 parallèle à d3
coupe d1 en A et d2 en B. Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble que parcourt
le milieu P du segment [AB] quand d4 varie.
On demande de répondre à la question sans introduire un repère.

Ich habe sie nur treu übersetzt.

fast treu

Augenzwinkern

mir ist das gaze schon etwas klarer geworden
und ich bitte um etwas Geduld, ich muß meine Beechnung erst kontrollieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2014, 15:50

riwe

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das übliche Verfahren:
1) bestimme zunächst die Schnittpunkte A und B von d4 (auf deutsch: g4 smile

smile

) mit d1 und d2
2) bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes
3) eliminiere die unerwünschte Größe

zur Kontrolle: ich erhalte für die Steigung der gesuchten Geraden:

$\begin{eqnarray*} m_4=\frac{2m_1\cdot m_2-m_3\cdot(m_1+m_2)}{m_1+m_2-2\cdot m_3} \end{eqnarray*}$

der Rest liegt bei dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2014, 16:14

Cevas

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Hast für $\begin{eqnarray*} d_1: y=m_1 x+a_1 \end{eqnarray*}$ ...etc
Und O(0;0)?

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07.02.2014, 16:31

riwe

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ja, da d1 durch O(0/0) geht, ist auch a1 = 0

07.02.2014, 16:39

Cevas

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Und wie kann man beweisen, dass es überhaupt eine Gerade ist?

07.02.2014, 16:44

riwe

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steht doch oben unter 2) und 3)
also bestimme einmal 2)

07.02.2014, 16:57

Cevas

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Der Mittelpunkt der AB hat die halbe Summe der Koordinaten von A und B als Koordinaten.
Woran erkennt man, dass es eine Gerade sein soll ?

07.02.2014, 17:04

riwe

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heiliges Elend, wie wir frommen Mnenschen zu sagen pflegen traurig

traurig

du hast:

$\begin{eqnarray*} d_1 :\quad{ }y=m_1\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_2 :\quad{ }y=m_2\cdot x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} d_4 :\quad{ }y=m_3\cdot x+d \end{eqnarray*}$

mit FESTEM $\begin{eqnarray*} m_3 \end{eqnarray*}$ , daher d3.

nun schneide d1 und d2 mit d4 und bestimme die Koordinaten von A und B

und male sie her smile

smile

07.02.2014, 17:37

Cevas

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Ich bin auf folgendes gekommen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \frac{d}{m_1-m_3} \\ \frac{m_1 d}{m_1-m_3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \frac{d}{m_2-m_3} \\ \frac{m_2 d}{m_2-m_3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.02.2014, 17:39

riwe

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Freude

und wie lauten nun die Koordinaten des Mittelpunktes verwirrt

verwirrt

07.02.2014, 17:51

Cevas

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und der Mittelpunkt von AB ist

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} \frac{d(m_1+m_2-2m_3)}{2(m_1-m_3)(m_2-m_3)} \\ \frac{d}{2} \frac{m_1(m_2-m_3)+m_2(m_1-m_3)}{(m_1-m_3)(m_2-m_3)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.02.2014, 17:58

riwe

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auch

Freude

nun schreibst du das so:

(I) x = ....

(II) y = .....

und eliminierst das d in (II), indem du aus (I) einsetzt
und schaust, was dabei heraus kommt

07.02.2014, 17:59

Cevas

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Und die Steigung sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{2m_1m_2-m_3(m_1+m_2)}{m_1+m_2-2m_3} \end{eqnarray*}$

07.02.2014, 18:04

riwe

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Zitat:

Original von Cevas
Und die Steigung sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{2m_1m_2-m_3(m_1+m_2)}{m_1+m_2-2m_3} \end{eqnarray*}$

steht ja schon weiter oben

07.02.2014, 18:18

Cevas

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Die Aufgabe wird mit 3 von 40 Punkten in einer 3-stündigen Prüfung benotet.
Es wundert mich soviel daafür rechnen zu müssen!!
Eine Antwort für das Achsensystem $\begin{eqnarray*} (O;\vec{OC};\vec{OD}) \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ wird leider als Antwort ausgeschlossen, laut Bemerkung in der Aufgabe.
Ich habe gehofft leichter an die Antwort kommen zu können.

Vielen Dank

07.02.2014, 18:32

riwe

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Zitat:

Original von Cevas
Die Aufgabe wird mit 3 von 40 Punkten in einer 3-stündigen Prüfung benotet.
Es wundert mich soviel daafür rechnen zu müssen!!
Eine Antwort für das Achsensystem $\begin{eqnarray*} (O;\vec{OC};\vec{OD}) \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ wird leider als Antwort ausgeschlossen, laut Bemerkung in der Aufgabe.
Ich habe gehofft leichter an die Antwort kommen zu können.

Vielen Dank

da ich nicht die geringste Ahnung habe, was dein Achsensystem bedeuten soll, kann ich dazu nix sagen.

so viel Rechnerei ist das doch gar nicht, bei mir waren´s (mit der "Symmetrie") 2 - 3 Minuten.

wie lautet denn nun die genaue Lösung oder genügt die Angabe der Steidung verwirrt

verwirrt

eventuell geht´s ja auch vektoriell schneller / einfacher.

eine Frage: warum Französich verwirrt

verwirrt

wenn man das Zeug genau anschaut, dann bedeutet die Aufgabe: bilde die Gleichung der Seitenhalbierenden des Dreiecks OAB:

mit dem Schnittpunkt S und dem Koordinatenursprung O kann man das einfach ganz ohne Rechnung hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OS}+\lambda\cdot(\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OS}) \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OS}+\lambda\cdot(\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}) \end{eqnarray*}$

(hoffentlich stimmt´s auch)

08.02.2014, 08:45

Cevas

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Lieber Werner,
ich schulde Dir noch ein paar Antworten und habe dazu noch eine kleine Frage.

Zu den Fragen habe ich leider keine Lösungen. Das sind alte französische Abiturprüfungen. Die haben oft schöne Geometrieaufgaben; diese Aufgabenstellung finde ich ausnahmsweise sehr verwirrend gestellt.
Französich ist meine Muttersprach, ich möchte im Auge behalten was in Frankreich gebraust wird!!!
Die Idee mit den Vektoren finde ich hervorragend und frage mich gleich ob es so auch ohne der Betrachtung des Schwerpunktes möglich? Etwa so:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\lambda\cdot(\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}) \end{eqnarray*}$

08.02.2014, 09:14

riwe

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S ist nicht der Schwerpunkt, sondern wie oben steht der Schnittpunkt der beiden Geraden, woraus du die richtige Folgerung gezogen hast, wie die Geradengleichung aussehen muß, wenn man $\begin{eqnarray*} S = O \end{eqnarray*}$ setzt,
das wollte ich dir überlassen Freude

Freude

na wenn Französich deine Muttersprache ist, wirst du es ganz sicher viel, viel besser können als ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich freue mich schon auf die nächste Aufgabe
werner

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