(Ordnung/Erzeugung) Zerfällungskörper

07.02.2014, 13:33

Matheversteher

(Ordnung/Erzeugung) Zerfällungskörper

Hallo alle zusammen, Wink

Es sei $\begin{eqnarray*} L \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f:= x^4 -3 \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen sie, dass L von i und einer Nullstelle von f erzeugt wird.
b) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} [L:K]=8 \end{eqnarray*}$

Ideen:
a) Ich bin mir nicht sicher wie ich das angehen muss. Bei dem Polynom handelt es sich um ein Kreisteilungspolynom mit 2 reellen und 2 komplexen Nullstellen.
$\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = i \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = -i \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich nun, dass mein Körper von i und einer Nullstelle erzeugt wird? Muss ich nun alle Körperaxiome durchgehen um zu zeigen, dass i und $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ den Körper erzeugen? Bzw. wenn ich i und \sqrt[4]{3} dann kann ich sie ja so kombinieren, dass ich alle Nullstellen des Polynoms erhalte und diese erzeugen ja per Definition meinen ERweiterungskörper.

b) Hier habe ich auch nur die Idee, dass ich weiss, dass die Nullstellen und die Linearkombinationen dieser in meinem Zerfällungskörper befinden müssen. Daher habe ich:
$\begin{eqnarray*} L(i, \sqrt[3]{3}) = \{ a+ b\sqrt[4]{3}+c\sqrt{3} + d \sqrt[4]{3}^3 + e \cdot i + f \cdot i \sqrt[4]{3}+g \cdot i\sqrt{3} + h \cdot i \sqrt[4]{3}^3 \| a,b,c,d,e,f,g,h \in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$
Somit ist die Dimension des Körpers 8.

Vielen Dank für eure Hilfe smile

07.02.2014, 14:03

Mulder

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RE: (Ordnung/Erzeugung) Zerfällungskörper

Zitat:

Original von Matheversteher
Wie zeige ich nun, dass mein Körper von i und einer Nullstelle erzeugt wird? Muss ich nun alle Körperaxiome durchgehen um zu zeigen, dass i und $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ den Körper erzeugen?

Körperaxiome durchgehen um Himmels Willen nicht.

Zitat:

Original von Matheversteher
Bzw. wenn ich i und \sqrt[4]{3} dann kann ich sie ja so kombinieren, dass ich alle Nullstellen des Polynoms erhalte und diese erzeugen ja per Definition meinen ERweiterungskörper.

Ja, zeig einfach kurz beide Inklusionen. Das reicht dann schon aus. Mit dem Ermitteln sämtlicher Nullstellen von f ist diese Aufgabe halt schon zu 99% erledigt.

Zitat:

Original von Matheversteher
b) Hier habe ich auch nur die Idee, dass ich weiss, dass die Nullstellen und die Linearkombinationen dieser in meinem Zerfällungskörper befinden müssen. Daher habe ich:
$\begin{eqnarray*} L(i, \sqrt[3]{3}) = \{ a+ b\sqrt[4]{3}+c\sqrt{3} + d \sqrt[4]{3}^3 + e \cdot i + f \cdot i \sqrt[4]{3}+g \cdot i\sqrt{3} + h \cdot i \sqrt[4]{3}^3 \| a,b,c,d,e,f,g,h \in \mathbb Q \} \end{eqnarray*}$
Somit ist die Dimension des Körpers 8.

Die Dimension von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum (bei der Körpererweiterung spricht man vom Grad) zu ermitteln funktioniert natürlich.

Alternativ kann man bei sowas auch zumeist gut mit dem Gradsatz arbeiten. Wir betrachten den Zwischenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ . Dann ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ natürlich $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(i) : \mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} x^4-3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ und daher Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i) \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(i)(\sqrt[4]{3}) : \mathbb Q(i)]=4 \end{eqnarray*}$ . Mit dem Gradsatz folgt $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q(i)(\sqrt[4]{3}) : \mathbb Q]=8 \end{eqnarray*}$ .

07.02.2014, 17:08

Matheversteher

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RE: (Ordnung/Erzeugung) Zerfällungskörper

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Ja, zeig einfach kurz beide Inklusionen. Das reicht dann schon aus. Mit dem Ermitteln sämtlicher Nullstellen von f ist diese Aufgabe halt schon zu 99% erledigt.

Was meinst du mit beiden Inklusionen?

Also die Nullstellen lassen sich so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} x_4 = \sqrt[4]{3}= i^4 \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = - \sqrt[4]{3}= i^2 \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = i \sqrt[4]{3} = i \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = -i \sqrt[4]{3} = i^3 \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$

Aber das ist es ja noch nicht.

Die Frage mit dem Gradsatz hast du mir jetzt schon vorweg genommen (wäre meine nächste Frage gewesen) Augenzwinkern

Danke, das habe ich dann aber auch jetzt schonmal verstanden Freude

07.02.2014, 17:18

Mulder

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RE: (Ordnung/Erzeugung) Zerfällungskörper

Zitat:

Original von Matheversteher
Also die Nullstellen lassen sich so aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} x_4 = \sqrt[4]{3}= i^4 \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = - \sqrt[4]{3}= i^2 \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = i \sqrt[4]{3} = i \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = -i \sqrt[4]{3} = i^3 \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$

Sie lassen sich auch schreiben als

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_4 = \sqrt[4]{3}= i^4 \cdot 1^5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = - \sqrt[4]{3}= i^2 \cdot 1^5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = i \sqrt[4]{3} = i \cdot 1^5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4 = -i \sqrt[4]{3} = i^3 \cdot 1^5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$

aber die Ausdrücke möglicht kompliziert darzustellen hilft einem wenig.

Wie gesagt: Wenn du bereits alle vier Nullstellen hast, bist du schon fertig, weil du mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ (und das ist ja eine Nullstelle des Polynoms) bereits alle Nullstellen erzeugen kannst, ergo ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i, \sqrt[4]{3}) = \mathbb Q(\sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}, i \sqrt[4]{3}, - i \sqrt[4]{3}) \end{eqnarray*}$

Mehr ist hier nicht zu tun, $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(i, \sqrt[4]{3}) \end{eqnarray*}$ ist bereits der Zerfällungskörper.

Denn wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ in L liegt, dann logischerweise auch $\begin{eqnarray*} -\sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ . Und wenn $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ drinliegen, dann auch z.B. $\begin{eqnarray*} i \sqrt[4]{3} \end{eqnarray*}$ , das ergibt sich ganz simpel bereits aus den Körpereigenschaften.

08.02.2014, 10:45

Matheversteher

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Ah, alles klar! Danke dir Mulder Freude

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