Differenzierbarkeit/Stetigkeit [kurze Kontrolle]

07.02.2014, 18:05

Kimyaci

Differenzierbarkeit/Stetigkeit [kurze Kontrolle]

Bei der Aufgabe habe ich immer noch Schwierigkeiten, folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}<br /> \cosh(x), & \text{für} \ \ x \geq 0\\<br /> \frac{\sin(x)}{x}, & \text{für} \ \ x < 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

a) in welchen Punkten ist die Funktion stetig?

b) berechnen Sie den links- und rechtsseitigen Differentialquotienten von f in x = 0, falls diese existieren.

c) untersuchen Sie f auf Differenzierbarkeit und geben Sie die Ableitungen an, dort wo sie existieren.

Mein Ansatz wäre;

a) cosh(x) ist eine stetige Funktion, und $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ist eine Verknüpfung aus zwei stetigen Funktionen, muss also auch stetig sein. Der einzige Punkt den ich untersuchen müsste ist $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Der linksseitige Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \cos(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Rechtsseitige Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{e^x+e^{-x}}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Funktionswert an der Stelle x = 0: $\begin{eqnarray*} f(0) = \frac{e^0+e^{-0}}{2} = 1 \end{eqnarray*}$ . Da links- und rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen ist die Funktions stetig an der Stelle x=0, bzw. auch auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig.

b) sind auch differenzierbare Funktionen, die einzige Stelle die ich überprüfen müsste ist $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Linksseitiger Grenzwert des Differentialquotienten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\frac{\sin(x)}{x} - 1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\frac{\sin(x) - x}{x}}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\sin(x) - x}{x^2} \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{\cos(x)-1}{2x} \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 0} \frac{-\sin(x)}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Rechtsseitiger Differentialquotient:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{\frac{e^x+e^{-x}}{2} - 1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{2x} \end{eqnarray*}$

L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \sinh(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Wow, es hat gerade geklappt. Aufm Papier kam ich hier nicht weiter.

c) Da die Grenzwerte der Differentialquotienten übereinstimmen ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Da $\begin{eqnarray*} \cosh(x) \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ebenfalls ist die Funktion auch auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sinh(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{\sin(x)+\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ .

07.02.2014, 21:37

Count von Count

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RE: Differenzierbarkeit/Stetigkeit [kurze Kontrolle]
Hallo Kimyaci,

alles soweit korrekt gerechnet, bis auf ...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{\sin(x)+\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ .

... die allerallerletzte Zeile (denk an die Quotientenregel).

Ist nur ein kleiner ärgerlicher Rechenfehler. Der ändert nichts an Deinen Schlußfolgerungen bezüglich der Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion. Die sind nämlich alle richtig.

Gruß vom Count

ps: Hast Du schon das GeoGebra ausprobiert?

07.02.2014, 21:57

Kimyaci

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Hab auch die Quotientenregel verwendet (erkennt man das denn nicht? ^^), allerdings habe ich so unordentlich geschrieben, dass ich da wohl mit den Buchstaben "u" und "v" durcheinander gekommen bin und zwei mal "1" eingesetzt habe - hab mir da auch keine große Mühe mehr gegeben bei den Ableitungen, das ist ja nur noch nach Schema F. Hab aber den Fehler erkannt, richtig wäre hingegen (ohne jetzt weiter zu vereinfachen):

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Freut mich, dass der Rest stimmt. smile

Und ja habs schon ausprobiert, allerdings sind die Dateien dann noch in einem merkwürdigen Format, so dass ich sie nicht hochladen kann... wie wandelt man sie in normale Bilddateien um?

07.02.2014, 22:43

Count von Count

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RE: Differenzierbarkeit/Stetigkeit [kurze Kontrolle]
Das mit dem Umwandeln ist tatsächlich etwas umständlich, ich mach das so:

Erst auf "Datei/Export ... Grafik als png", dann auf der Festplatte speichern. Anschließend wandle ich die png's mit "Paint" in jpg's um. Die kann ich dann hochladen.

Wie gesagt, ist wirklich umständlich. Erfordert jedes Mal einen kleinen Kraftakt.

07.02.2014, 22:53

10001000Nick1

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png's kann man schon hochladen, um das Bild dann anzusehen, muss man es aber erst anklicken; es wird dann in einem neuen Tab/Fenster angezeigt. Hier im Thread sieht man nur ein schwarzes Feld (jedenfalls wird es bei mir so angezeigt).

Hier mal die Funktion:
[attach]33169[/attach]

07.02.2014, 23:11

10001000Nick1

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Komisch. Ich habe hier gerade ein png hochgeladen, aber da wird alles richtig angezeigt, auch schon im Thread. Warum das denn? verwirrt

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