Gleichung mit 2 Variablen umformen

07.02.2014, 18:14	Alive	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit 2 Variablen umformen Hallo zusammen, es geht darum bei einer Höhenlinie Punkte der gleichen Höhe wie ein vorgegebener Punkt (1;1) zu finden (also einfach irgendein anderer). ich habe folgende Gleichung und möchte sie auf Höhenlinienform bringen: $\begin{eqnarray} 4,5 = 3x - x² + 4y - y² - 0,5xy \end{eqnarray}$ Möchte sie nach y umformen, komme da aber nicht weiter. Ich habe zunächst versucht alle y auf eine Seite zu bringen und dann eventuell auszuklammern. $\begin{eqnarray} -4y + y² + 0,5xy = -4,5 + 3x - x² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y (-4 + y + 0,5x) = -4,5 + 3x - x² \end{eqnarray}$ Nur kann ich so natürlich die Gleichung auch nicht durch die Klammer dividieren, da ich dann ein y wieder auf der anderen Seite habe. Ich habe einfach ein Problem damit, die 0,5xy auseinander zu bekommen wegen den quadrierten Variablen. Habe mir schon überlegt, ob ich da erstmal eine binomische Formel herstellen sollte, um dann vielleicht mit einer Wurzel die Quadrate eliminieren zu können. Falls das der richtige Weg wäre, habe ich da an einer Stelle ein Problem. Binomische Formel: $\begin{eqnarray} (a+b)² = a²+2ab+b² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4,5 = -1 * (x² + 0,5xy + y²) + 3x + 4y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4,5 = -1 * (? x+ ? y)² + 3x + 3y \end{eqnarray}$ Ich weiß nun nicht, was ich für ? einsetzen muss, um auf die 0,5 am Ende zu kommen... falls dieser Ansatz überhaupt der richtige ist? Ansonsten fällt mir als letzte Umformungswaffe noch die Substitution ein... wenn ich x² und y² substituiere mit u und v, dann habe ich 4 Variablen. Der Weg scheint mir auch nicht hilfreich. Das waren meine Gedanken bisher dazu, ich hoffe, ihr könnt mir einen Tipp geben, der mich weiterbringt. In den Lösungen steht: $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{4} * (8 - x \pm \sqrt{ -8 + 32x - 15x²}) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (4y+x-8)² = -8+32x-15x² \end{eqnarray*}$ Viele Grüße Sascha
07.02.2014, 18:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schreibe $\begin{eqnarray} 4,5 = 3x - x² + 4y - y² - 0,5xy \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} y²+(-4 + 0,5x)y -3x + x² +4,5=0 \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du die Mitternachtsformel bezüglich der Variable y anwenden. Hier brauchst du die Werte für die Parameter nur einzusetzen. Grüße.
08.02.2014, 02:05	Alive	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für den Tipp! Ich versuche es genau so zu machen: $\begin{eqnarray} y = \frac{-(-4+0,5x) \pm \sqrt{(-4+0,5x)² - 41(-3x+x²+4,5)} }{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= \frac{4-0,5x \pm \sqrt{16-4x+0,25x²+12x-4x²-18}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= \frac{4-0,5x \pm \sqrt{-2+8x-3,75x²}}{2} \end{eqnarray}$ Stimmt das bis dahin? Wie gelange ich dann weiter zur angegebenen Lösung: $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{4} (8 - x \pm \sqrt{ -8 + 32x - 15x²}) \end{eqnarray*}$ Das sieht für mich doch noch sehr verschieden aus, könnte ich mich verrechnet oder etwas falsch in die Mitternachtsformel eingesetzt haben? Viele Grüße
08.02.2014, 08:23	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist das gleiche. Wenn du partout auf die angegebene Form kommen willst, musst du den Bruch zunächst mit 2 erweitern und bei der wurzel die 2 mit reinziehen.

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