Komplexe Zahlen mit hohem Exponenten

07.02.2014, 18:18	zutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen mit hohem Exponenten Meine Frage: Hallo Allerseits, in den Altklausuren finden sich immer Aufgaben vom Folgenden Typ: Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag von: $\begin{eqnarray} z=2^{-30} (i-\sqrt{3})^{32} \end{eqnarray}$ Ich verstehe trotz "Musterlösung" nicht, wie man auf das gesuchte Ergebniss kommt. Meine Ideen: Als Lösungsweg wurde folgendes veröffentlicht: $\begin{eqnarray} (i-\sqrt{3})^{32} = (2\cdot e^{\frac{5\pi }{6} i})^{32} = 2^{32}\cdot e^{\frac{160\pi }{6} i} = 2^{32}\cdot e^{\frac{2\pi }{3} i } \end{eqnarray}$ Damit erhält man: $\begin{eqnarray} z=4e^{\frac{2\pi }{3}i } = 4(-\frac{1}{2} +\frac{i}{2}\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ Und daraus soll man Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag ablesen können. Die erste Umformung verstehe ich nicht, dann wird ja nur die Klammer aufgelöst und von den 160pi/6 alle vollen Umdrehungen abgezogen. Dann wird die volle Gleichung betrachtet und 2^32/2^30 ergibt die 4. Bei der letzten Umformung bin ich wieder komplett Ratlos. Vielen Dank für eure Hilfe.
07.02.2014, 19:07	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen mit hohem Exponenten Weil man ja das Resultat $\begin{eqnarray} -\sqrt{3}+i=2\exp\left(i\frac{5\pi}6\right) \end{eqnarray}$ nicht unbedingt parat hat, kann man Aufgaben dieses Typs häufig durch Berechnung einer niedrigen Potenz und anschließende Anwendung der Potenzgesetze erschlagen. Sei $\begin{eqnarray} z:=-\sqrt{3}+i \end{eqnarray}$ dann rechnet man leicht nach, dass $\begin{eqnarray} z^2=2-i2\sqrt{3},~z^3=8i \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} z^{32}=z^2(z^3)^{10}=\left(2-i2\sqrt{3}\right)\left(-2^{30}\right)=2^{31}\left(-1+i\sqrt{3}\right). \end{eqnarray}$

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