Gleichung mit Komplexen Zahlen

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07.02.2014, 18:22	zutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Komplexen Zahlen Meine Frage: Hallo Allerseits, in den Altklausuren finden sich immer Aufgaben vom Folgenden Typ: Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag von: $\begin{eqnarray} z=2^{-30} (i-\sqrt{3})^{32} \end{eqnarray}$ Ich verstehe trotz "Musterlösung" nicht, wie man auf das gesuchte Ergebniss kommt. Meine Ideen: Als Lösungsweg wurde folgendes veröffentlicht: $\begin{eqnarray} (i-\sqrt{3})^{32} = (2\cdot e^{\frac{5\pi }{6} i})^{32} = 2^{32}\cdot e^{\frac{160\pi }{6} i} = 2^{32}\cdot e^{\frac{2\pi }{3} i } \end{eqnarray}$ Damit erhält man: $\begin{eqnarray} z=4e^{\frac{2\pi }{3}i } = 4(-\frac{1}{2} +\frac{i}{2}\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ Und daraus soll man Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag ablesen können. Die erste Umformung verstehe ich nicht, dann wird ja nur die Klammer aufgelöst und von den 160pi/6 alle vollen Umdrehungen abgezogen. Dann wird die volle Gleichung betrachtet und 2^32/2^30 ergibt die 4. Bei der letzten Umformung bin ich wieder komplett Ratlos. Vielen Dank für eure Hilfe.
07.02.2014, 18:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mit Komplexen Zahlen Sagen dir "Polarkoordinaten" etwas? Es wird im ersten und letzten Schritt jeweils umgerechnet. Bei wiki mit der Darstellung in sin und cos, hier mit e. http://www.iazd.uni-hannover.de/~erne/Ma...aple/MB_3_2.pdf Kommst du so schon weiter?
07.02.2014, 20:16	zutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass hat mir schon sehr geholfen. Wie komme ich den auf phi, ist das nur der arctan von 1/-wurzel(3)? Wie komme ich denn von da auf 5pi/6? Ind der Klausur darf ich keinen Taschenrechner benutzen. Gruss
07.02.2014, 20:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind im II. Quadranten. Haben ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray} \|x\| = \sqrt{3}, \|y\| = 1, r = 2 \end{eqnarray}$ Für den spitzen Winkel am Ursprung ergibt sich $\begin{eqnarray} \tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \alpha = 30^{\circ} \end{eqnarray}$ Nun gibt es Winkel und sin/cos/tan Werte, die man auswendig kennen sollte. http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_K..._Funktionswerte http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und..._Funktionswerte Damit ergibt sich $\begin{eqnarray} \varphi = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \end{eqnarray}$ Nun können wir das auch im Bogenmaß ausdrücken $\begin{eqnarray} \varphi = \pi - \frac{1}{6}\pi = \frac{5}{6}\pi \end{eqnarray}$ Damit sollte $\begin{eqnarray} (i-\sqrt{3})^{32} = (2\cdot e^{\frac{5\pi }{6} i})^{32} \end{eqnarray}$ nun klar sein. Versuche selbst nun die letzte Gleichung.
07.02.2014, 21:11	zutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist villeicht ne blöde Frage, aber warum ist 1/Wurzel3 = Wurzel3/3? Danke dir
07.02.2014, 21:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} (\sqrt{3})^2 = 3 \end{eqnarray}$ . Ich wollte es dir nur in der passenden Form für den Wikilink notieren.
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07.02.2014, 21:42	zutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Um auf das Ergebniss zu kommen habe ich jetzt den Cosinus-Wert von pi/3 abgelesen: 1/2 und mal -1 genommen, da die cosinus-funktion bei pi/2 in den negativen Bereich geht. (Korrekt?) Dann haben ich den Sinus von pi/3 abgelesen: Wurzel(3)/2, das dieser gleich dem sinus von 2pi/3 ist. (oder?). So komme ich zum gesuchten Ergebniss $\begin{eqnarray} 4\cdot \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i\right) \end{eqnarray}$
08.02.2014, 10:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z=4e^{\frac{2\pi }{3}i } = 4(-\frac{1}{2} +\frac{i}{2}\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ D.h. $\begin{eqnarray} \varphi = \frac{1}{3}2 \pi = \frac{1}{3} 360^\circ = 120^\circ \end{eqnarray}$ Wir sind also wieder im zweiten Quadranten. Für das rechtwinklige Dreieck ergibt sich $\begin{eqnarray} \alpha = 60^\circ \end{eqnarray}$ . Sinus und Cosinus aus der Tabelle. Cosinus mal -1. Sieht doch gut aus.
09.02.2014, 19:16	zutter	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, habe es nun vestanden. Gruss

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