kern und bild

07.02.2014, 19:28	Belli88	Auf diesen Beitrag antworten »
kern und bild Meine Frage: Hallo zusammen Sei A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung f: Mat(2x2, R) -> Mat(2x2, R), B -> BA Meine Ideen:* Meine Lösung dazu wäre: Für B habe ich die Standardbasis gewählt und dann durch f abgebildet: f( $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ )= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = 1* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + 1* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + 0 * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + 0* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .... Dies habe ich für alle 4 Basiselemente von Mat(2x2,R) gemacht und daraus folgte die Darstellungsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese kann man "vereinfachen": $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann das Bild der Matrix = span( $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) Was ist den jetzt das Bild von f? Den Kern der Matrix habe ich berechnet indem ich: Ax=0 gesetzt habe: x_1+x_2=0 & x_3+x_4=0 Dann wäre ja der Kern der Matrix = span ( $\begin{eqnarray} {\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) Und was ist jetzt der Kern von f? Besten Dank für eure Hilfe!
07.02.2014, 19:55	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kern und bild Hallo Belli88, Du musst doch jetzt nur das "Bild der Matrix" in Relation zur gewählten (Standard-)Basis von $\begin{eqnarray} M_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ setzen. Dann kommst du sofort auf das selbe Ergebnis, was man auch durch einfache Rechnung einsehen kann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a+b & a+b \\ c+d & c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} Imf = span \left( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} kerf = span \left( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ lg

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