Für welche b ist lineares Gleichungssystem lösbar

07.02.2014, 23:27

Belli88

Für welche b ist lineares Gleichungssystem lösbar

Meine Frage:
Es seien K der körper K=Z/3Z und A die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Für welche b $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ ist das lineare Gleichungssystem Ax=b lösbar?

Meine Ideen:
Hallo zusammen

Zur obigen Aufgabe kenne ich nur das Kriterium rang(A)=rang(A,b).
Ist das das einzige Kriterium das es gibt?

Die Matrix A oben hat ja den rang 2, das heisst es ist lösbar für alle b der Form (a, b, 0)^t wobei a,b beliebige Elemente aus K sind.
Stimmt das so?

Liebe Grüsse

08.02.2014, 07:44

micha_L

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RE: Für welche b ist lineares Gleichungssystem lösbar

Zitat:

Original von Belli88
Meine Frage:
[...]
Für welche b $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ ist das lineare Gleichungssystem Ax=b lösbar?

Nun, man kann doch die Multiplikation mit deiner Matrix als Abbildung $\begin{eqnarray*} f:x\mapsto Ax \end{eqnarray*}$ auffassen. Es stellt sich also die Frage, welche $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein Urbild $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ haben. Geht ja nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ im Bild liegt.

Mfg Michael

08.02.2014, 10:21

Belli88

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RE: Für welche b ist lineares Gleichungssystem lösbar
Ok.
Dann muss ich jetzt das Bild bestimmen. Das sind ja einfach alle Linearkombinationen der linear unabhängigen Spalten. Stimmt das?

So nun gilt ja, A=A^t, desshalb kann ich meine Matrix via Zeilenumformungen auf die Gestalt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun ist ja das Bild meiner Matrix = ( $\begin{eqnarray*} a*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, b*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}: a,b \in R) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

08.02.2014, 10:51

micha_L

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RE: Für welche b ist lineares Gleichungssystem lösbar
Hallo,

nein, da ist zunächst ein Rechenfehler beim zweiten Vektor drin. Wo, kann ich nicht sagen, da du die Umformungen nicht geschrieben hast.

Außerdem musst dir überlegen, ob nur die JEWEILS Vielfachen der beiden Vektoren im Bild sind, oder ob da vielleicht noch weitere zugehören!

Mfg Michael

08.02.2014, 11:06

Belli88

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RE: Für welche b ist lineares Gleichungssystem lösbar
Hallo

Also ich habe das so gemacht:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann Z3-2Z1, und da wir in Z/3Z sind ist -4=2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann Z2-2Z3, und da wir in Z/3Z sind ist -3=0
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo ist den da der Fehler?

Was meinst du mit: "Außerdem musst dir überlegen, ob nur die JEWEILS Vielfachen der beiden Vektoren im Bild sind, oder ob da vielleicht noch weitere zugehören!" ?

Liebe Grüsse

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