Gleichungssystem Verständnisfrage

08.02.2014, 10:47

_Matti_

Gleichungssystem Verständnisfrage

Hallo,

wenn man einen 3-dimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hat mit einer Basis $\begin{eqnarray*} \left \{ 1,n,n^2 \right \} \end{eqnarray*}$ , dann können wir ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreiben in der Form
$\begin{eqnarray*} x = a + b \cdot n + c \cdot n^2 \end{eqnarray*}$ mit Elementen $\begin{eqnarray*} a,b,c \in K. \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun folgendes Gleichungssystem betrachten :

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \ \ 1 \cdot x = a \cdot 1 + b \cdot n + c \cdot n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \quad \ \ n \cdot x = a \cdot n + b \cdot n^2 + c \cdot n^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \quad \ \ n^2 \cdot x = a \cdot n^2 + b \cdot n^3 + c \cdot n^4 \end{eqnarray*}$

dann sehen wir, dass die Zeilen linear abhängig sind.

Kann man dann schlussfolgern, dass es nur die Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ geben kann??

Viele Grüße
Matti

08.02.2014, 10:51

tigerbine

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RE: Gleichungssystem Verständnisfrage
1,n,n² sind deine Basisvektoren. x soll im Vektorraum liegen. Der VR ist bzgl Skalarmultiplikation und Vektoraddition abgeschlossen. Du bildest mit nx aber ein Vektorprodukt. Deine Gleichungen funktionieren so nicht.

08.02.2014, 10:59

_Matti_

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Hallo,

ok, aber würde es funktionieren, wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt?
Wenn es also zum Beispiel ein 3-dimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum wäre?

Dann wären $\begin{eqnarray*} 1,n,n^2,x,... \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und man hätte die "gewöhnliche Multiplikation" von Elementen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

LG
Matti

08.02.2014, 11:04

tigerbine

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Ich denke mit 1,n,n² ist der Vektorraum der (reelen) Polynome vom Maximalgrad 2 gemeint. Würde es nur um IR gehen, dann hätte der VR die Dimension 1.

08.02.2014, 11:08

_Matti_

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Das verstehe ich nicht. Es gibt doch auch Vektorräume über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , welche in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegen und Dimension drei haben. Das muss doch nicht automatisch der Vektorraum der reellen Polynome sein.

08.02.2014, 11:12

tigerbine

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Ich schließe den Polynomraum aus der allgemeinen Formunieren 1,n,n². Woher stammt das denn, von einer Vorgabe oder hast du dir das ausgedacht?

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \ \ 1 \cdot x = a \cdot 1 + b \cdot n + c \cdot n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \quad \ \ n \cdot x = a \cdot n + b \cdot n^2 + c \cdot n^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \quad \ \ n^2 \cdot x = a \cdot n^2 + b \cdot n^3 + c \cdot n^4 \end{eqnarray*}$

(2) und (3) liegen dann nicht mehr in dem VR, denn n³ ist. Z.B. nicht vorhanden. Verstehst du, was ich meine?

08.02.2014, 11:32

_Matti_

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Also das ist keine Aufgabe, sondern etwas, über das ich mir im Rahmen der Klausurvorbereitung Gedanken mache. Ich kann deine Argumente zwar einerseits irgendwie verstehen, aber andererseits auch wieder nicht, weil $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ in meinem Fall eine ganz normale reelle Zahl wäre (wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein 3-dim. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum wäre, der in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eingebettet werden kann).

08.02.2014, 12:00

tigerbine

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Zitat:

wenn man einen 3-dimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ hat mit einer Basis $\begin{eqnarray*} \left \{ 1,n,n^2 \right \} \end{eqnarray*}$ , dann können wir ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schreiben in der Form $\begin{eqnarray*} x = a + b \cdot n + c \cdot n^2 \end{eqnarray*}$ mit Elementen $\begin{eqnarray*} a,b,c \in K. \end{eqnarray*}$

Bis hierhin sind wir uns noch einig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \ \ 1 \cdot x = a \cdot 1 + b \cdot n + c \cdot n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \quad \ \ n \cdot x = a \cdot n + b \cdot n^2 + c \cdot n^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \quad \ \ n^2 \cdot x = a \cdot n^2 + b \cdot n^3 + c \cdot n^4 \end{eqnarray*}$

Nun betrachtest du die Basisvektoren als Skalare (somit ungleich 0). Sont könntest du ja nicht mit ihnen Multiplizieren.

Dann steht da

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \ \ 1 \cdot x = a \cdot 1 + b \cdot n + c \cdot n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \quad \ \ n \cdot x = (a \cdot n) \cdot 1 + (b\cdot n) \cdot n + (c \cdot n) \cdot n^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) \quad \ \ n^2 \cdot x = (a \cdot n^2) \cdot 1 + (b \cdot n^2)\cdot n + (c \cdot n^2) \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Und es steht eigentlich 3 mal die gleiche Informatiion da. Wie folgerst du daraus nun, dass x der Nullvektor ist? Wenn dem so wäre, da x ganz allgemein als Vektor aus dem VR gewählt wurde, würde der VR der Nullvektorraum sein.

08.02.2014, 12:14

_Matti_

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Ok, es ist nun klar. Man kann diese Schlussfolgerung nicht so einfach machen. Danke für deine Antworten!

LG
Matti

08.02.2014, 12:20

tigerbine

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Gerne und ich hoffe, ich habe dich nicht verwirrt. Viel erfolg in der Prüfung!

10.02.2014, 00:04

Helferlein

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Zitat:

Original von _Matti_
Das verstehe ich nicht. Es gibt doch auch Vektorräume über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , welche in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegen und Dimension drei haben. Das muss doch nicht automatisch der Vektorraum der reellen Polynome sein.

Da muss ich Matti recht geben, man denke z.B. an $\begin{eqnarray*} \{q+r\sqrt2+s\sqrt3 | q,r,s\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ .
Allerdings hat tigerbine in ihrem letzten Posting die Sache richtig erläutert: Es ist dreimal dieselbe Information und somit nicht möglich den Nullvektor zu folgern.

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