Summe "verschiedener" Zufallsvariablen

08.02.2014, 12:13

Zufallsvariable

Summe "verschiedener" Zufallsvariablen

Hallo Forum,

ich habe mir gerade folgende Frage zu diskreten Zufallsvariablen gestellt. In bestimmten Fällen kann man ja zwei Zufallsvariablen addieren und die Dichtefunktion explizit angeben (z.B. $\begin{eqnarray*} X_1\sim bin(n_1,p),X_2\sim bin(n_2,p)\Rightarrow X_1+X_2\sim bin(n_1+n_2,p) \end{eqnarray*}$ ). In den Fällen die mir so einfallen, besitzen die einzelnen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ immer die gleiche Verteilung, evtl. mit einem anderen Parameter.

Wie ist das bei der Summe "unterschiedlicher" Zufallsvariablen, es spricht ja eigentlich nichts dagegen, zu (unabhängigen) $\begin{eqnarray*} X\sim geo(p) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\sim Po(\lambda) \end{eqnarray*}$ die Summe $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ zu betrachten, oder? Kann man die Dichte in so einem Fall überhaupt angeben oder geht das nur in diesen Spezialfällen?

Gibt es dafür Anwendungsbeispiele? Die negative Binomialverteilung lässt sich ja als Summe von identischer und unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsvariablen herleiten und modelliert das Warten auf den k-ten Treffer. Was für eine Anwendung könnte man z.B. für die obige Summe mit geomterisch/Poissonverteilung haben?

08.02.2014, 14:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zufallsvariable
Kann man die Dichte in so einem Fall überhaupt angeben

Man kann sie natürlich ausrechnen, aber es ist keine der Standardverteilungen - das ist bereits der Fall, wenn du Binomialverteilungen mit unterschiedlichen p summierst.

08.02.2014, 16:34

Zufallsvariable

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Das heißt, wenn ich $\begin{eqnarray*} X_1\sim B(n,p_1),X_2\sim B(n,p_2) \end{eqnarray*}$ habe und die Summe davon betrachte, ist diese nicht mehr binomialverteilt? Glaub das werde ich gleich mal nachrechnen.

Gibt es denn eine Anwendung for so eine Summe nicht gleicher Zufallsvariablen? Muss nicht geometrisch + Poisson sein, es wären auch andere Kombinationen denkbar.

Und gibt es denn für solche Fälle Möglichkeiten Sachen wie den Erwartungswert auszurechnen, wenn $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ keine Standardversteilung besitzt? Jedes Mal den Weg über die Faltung zu gehen ist ja eher lästig.

08.02.2014, 17:08

Iorek

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Wenn man unabhängige Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ voraussetzt, so kann man den Erwartungswert mit Hilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen berechnen. Sind $\begin{eqnarray*} P_X,P_Y \end{eqnarray*}$ die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} P_Z=P_X\cdot P_Y \end{eqnarray*}$ die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ . Den Erwartungswert erhält man dann mit $\begin{eqnarray*} P'_Z(1) \end{eqnarray*}$ , ganz ohne Faltungen.

Für die Anwendung überlasse ich HAL das Feld, der weiß da bestimmt ein Beispiel. Augenzwinkern

Edit: Der Weg ist für den Erwartungswert natürlich quatsch und viel zu umständlich. Ich hatte einen anderen Zusammenhang im Kopf.

08.02.2014, 18:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zufallsvariable
Und gibt es denn für solche Fälle Möglichkeiten Sachen wie den Erwartungswert auszurechnen, wenn $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ keine Standardversteilung besitzt?

Wenn's nur darum geht: Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} E(X+Y) = E(X) + E(Y) \end{eqnarray*}$ ,

übrigens auch bei abhängigen Zufallsgrößen!

Anders sieht es bei der Varianz aus: Da ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X) + 2\operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{var}(Y) \end{eqnarray*}$ ,

und erst bei Unkorreliertheit (die etwa im Fall von Unbhängigkeit gilt) hat man auch

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y) \end{eqnarray*}$ .

08.02.2014, 23:53

Iorek

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn's nur darum geht: Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} E(X+Y) = E(X) + E(Y) \end{eqnarray*}$ ,

übrigens auch bei abhängigen Zufallsgrößen!

Du liebe Güte, wo war ich denn da mit meinen Gedanken? geschockt

Wenn man schon mit Kanonen nicht auf Spatzen schießen soll...was wäre dann dieser Weg den ich im Kopf hatte?

Ich wollte eigentlich auf die Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ hinaus, welche man in diesem Fall mit den WEF gänzlich ohne Faltung und ohne großen Aufwand berechnen kann. Da kommen zwar auch Ableitungen drin vor und man setzt etwas in die Ableitung ein, aber das wars auch schon mit den Gemeinsamkeiten. Wenn es nur um die Berechnung des Erwartungswerts geht ist das natürlich nicht zu empfehlen.

09.02.2014, 15:37

Zufallsvariable

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Wenn's nur darum geht: Der Erwartungswert ist ein linearer Operator, d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} E(X+Y) = E(X) + E(Y) \end{eqnarray*}$ ,

übrigens auch bei abhängigen Zufallsgrößen!

Ah, ok. Diese Aussage hatten wir bisher noch nicht, aber 3 Seiten weiter steht die im Skript, dann dürfte die wohl bald kommen. Dann ist das ja gar nicht so problematisch. Freude

Gibt es denn "echte" Anwendungen für solche Zufallsvariablen? Man kann natürlich eine Aufgabe stellen "Sei X geometrisch verteilt und Y binomial verteilt. Betrachte Z=X+Y", aber gibt es Probleme wo so eine Modellierung wirklich zutrifft? Geometrische Verteilung hat ja mit dem Warten auf den ersten Treffer zu tun, Binomialverteilung mit der Wahrscheinlichkeit für k Treffer, aber was würde die Summe dann für eine Bedeutung haben (ich hoffe es ist verständlich was ich damit meine)?

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