Besucherzahl

08.02.2014, 12:28

Bonheur

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Besucherzahl

Auf einem Volksfest wird die Änderungsrate der Besucherzahl kontinuierlich festgestellt. Es zeigt sich, dass sie durch $\begin{eqnarray*} B'(t)=20t^{3}-300t^{2}+1000t \end{eqnarray*}$ erfasst wird. $\begin{eqnarray*} (t \, \, \, in \, \, Std., \, \, B' \, \, \, in \, \, \, \, Besucher/Std.) \end{eqnarray*}$
Nach einer Stunde waren 500 Menschen auf dem Fest.

a) Wie lautet die Gleichung der Funktion B(t) für die Besucheranzahl?

b) Wie viele Besucher sind nach 3 Std. anwesend?

c) Wie groß ist die maximale Besucherzahl?

d) Wann steigt die Besucherzahl am schnellsten?

e) In welchen Zeitgrenzen kann das Modell höchstens gelten?

Ideen:

Zu a) Hier würde ich einfach die Funktion integrieren

zu b) Hier würde ich für t in die Stammfunktion 3 einsetzen.

zu c) Hier würde ich die Stammfunktion auf Extrema untersuchen

zu d) Hier würde ich die Stammfunktion auf Wendepunkte untersuchen

zu e) Hier habe ich leider keine Idee^^ Edit: Hier ist mir etwas einfallen, vielleicht muss man dann ein Intervall von 0 bis unendlich wählen, kann das sein?

08.02.2014, 13:00

Gast11022013

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Die Ansätze von a)-d) sollten richtig sein.

Zu e):

Ich würde sagen, dass es nur Sinn macht die Funktion zu betrachten wo man eine nicht negative Besucher Anzahl hat.

So ein Volksfest geht ja auch nicht unbedingt unendlich Stunden lang.

08.02.2014, 13:07

Bonheur

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Hmm

verwirrt

Muss ich dann die Nullstellen von B'(t) bestimmen verwirrt

verwirrt

08.02.2014, 13:12

Gast11022013

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Nein, die Nullstellen von B' sind ja die Extrempunkte.
Die Nullstellen von B sollten das gewünschte Intervall angeben. Denn diese Funktion gibt ja die Besucheranzahl an. B' ist ja nur die Änderungsrate.

08.02.2014, 13:25

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} B'(t)=20t^{3}-300t^{2}+1000t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=5x^{4}-100x^{3}+500x^{2} |x_1=0|x_2=10 \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass die Funktion immer positiv ist?

[attach]33173[/attach]

08.02.2014, 13:30

Gast11022013

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Stimmt. Das Intervall sollte nun $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 10 \end{eqnarray*}$ sein.
Zwar wird die Funktion nie negativ, aber alles jenseits der 10 Stunden ist ja auch irgendwie unlogisch mit einer Besucherzahl die unendlich groß werden kann.

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08.02.2014, 13:36

Bonheur

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Verstehe.

Sowas würde ich auch gerne sehen, wo die Besucheranzahl unendlich groß wird. ^^

Ok. Kann ich zur dieser Aufgabe nur das Intervall angeben. Reicht das für die Lösung?

08.02.2014, 13:40

Gast11022013

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Wenn du das ordentlich begründest, ja.

Ich glaube bei dieser Aufgabe gibt es nicht unbedingt ein richtig und ein falsch.
Es macht nur auch keinen Sinn das Fest innerhalb der 10 Stunden abzubrechen, da ja noch Besucher da sind. Und es weiterlaufen zu lassen, wenn die 10 Stunden um sind, ist ja auch irgendwie komisch, weil ja Zeitweise schon alle weg sind, und dann knallt die Besucherzahl auf einmal nach oben. Empfinde ich als relativ sinnlos und sollte daher aus dem Definitionsbereich genommen werden.

Bei dieser Aufgabe gibt es eher ein "macht Sinn" oder "macht keinen Sinn".

08.02.2014, 13:48

Bonheur

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Verstehe.

ok smile

smile

Ich suche mir immer die komischsten Aufgaben aus^^^^

Vielen Dank Gmasterflash

08.02.2014, 14:00

Gast11022013

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Komisch ist die Aufgabe nicht. Sowas sind glaube ich auch recht typische Abitur aufgaben, dass du irgendwo nen Definitionsbereich für angeben muss. Das sind aber auch eher sehr einfache Aufgaben.

Ich weiß jetzt nicht wie man solche Aufgaben zu bewerten hat als Lehrer, aber ein wirkliches richtig und falsch gibt es denke ich nicht. Wenn du irgendwie plausibel begründen kannst, dass das Fest 3 Tage lang geht, dann sollte auch das irgendwo richtig sein.
Aber der einzige plausible Definitionsbereich ist wohl $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 10 \end{eqnarray*}$ und auch wohl die geforderte Lösung.

08.02.2014, 14:07

Bonheur

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Ja. Ich hole die Aufgaben immer aus meinem Mathematikbuch. Ok smile

smile

.

Vielen Dank Gmasterflash für die Hilfe.

Ich schaue mir nun etwas schwierigere Aufgaben an^^

08.02.2014, 14:08

Gast11022013

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Gern geschehen.

Wenn du noch irgendwelche Lösungen der anderen Aufgabenteile korrigiert haben willst, dann kannst du diese ja posten.

08.02.2014, 14:22

Bonheur

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Jo Aufgabe d) ^^

$\begin{eqnarray*} B'(t)=20t^{3}-300t^{2}+1000t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B''(t)=60x^{2}-600x+1000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B''(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 60x^{2}-600x+100=0 \end{eqnarray*}$

Nach Anwendung der PQ-Formel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=2,11 \, | \, x_{2}=7,88 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B'''(x)=120x-600 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B'''(7,88)=345,6 > 0 \, \, \text{linksgekrümmt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B'''(2,11)=-346,8 < 0 \, \, \text{rechtsgekrümmt} \end{eqnarray*}$

Antwort:

Nach 2,11 und 7,88 Stunden ändert sich die Besucheranzahl am schnellsten.

Danke schonmal^^

08.02.2014, 14:38

HAL 9000

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Eins verstehe ich nicht: Ihr scheint die Aufgabe mit $\begin{eqnarray*} B(t) = 5t^4 - 100t^3 + 500t^2 \end{eqnarray*}$ zu rechnen.

Da gibt es doch aber die Information

Zitat:

Original von Bonheur
Nach einer Stunde waren 500 Menschen auf dem Fest.

die zu einer anderen Integrationskonstante als Null führt:

$\begin{eqnarray*} B(t) = 5t^4 - 100t^3 + 500t^2 + 95 \end{eqnarray*}$

08.02.2014, 14:38

Gast11022013

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Das sieht gut aus.

Edit:

@HAL: Ups, die Angabe habe ich irgendwie überlesen/vergessen.

08.02.2014, 14:50

Bonheur

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Ah ja stimmt. Man kommt aber trotzdem aufs gleiche Ergebnis oder? Wenn es jetzt noch ein absolutes Glied gibt, welches darauf zurückführt, dass es keine Nullstellen gibt, steigt die Besucheranzahl erst recht hoch. Das Intervall bleibt gleich oder?

08.02.2014, 16:23

Gast11022013

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Ja, wobei du dann an der Begründung für das Intervall etwas ändern müsstest.

08.02.2014, 16:43

Bonheur

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Ich versuche das mal zu begründen ^^

Begründung:

Das Intervall liegt bei $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 10 \end{eqnarray*}$ , weil die Besucheranzahl jenseits von t=10 kontinuierlich ansteigen. Wenn das der Fall wäre, würde die Besucheranzahl ins Unendliche steigen. Es ist auch höchst unwahrscheinlich, dass die Besucher das Volksfest verlassen und kurz danach die Besucheranzahl schnell ansteigt. Wenn man allerdings davon ausgeht, dass die Besucher nie auf null kommen, dann müssten "die Besucher im Volksfest schlafen und würden kontinuierlich dahin irren und sich ein Schlafplatz suchen", weil immer mehr Besucher dazu kommen. Deshalb ist es einfach am besten zu sagen, dass das Intervall bei $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 10 \end{eqnarray*}$ liegt.

08.02.2014, 16:52

Gast11022013

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Deine Begründung ist relativ lustig. smile

smile

Vielleicht hast du das mit der Begründung etwas zu ernst genommen.

Stelle lieber eine Rechnung an und begründe dann, dass es Sinn macht gerade diese Werte zu nehmen. Vorhin waren das die Nullstellen. Hier wären es die Extremwerte.
komfortabelerweise erhältst du diese eigentlich schon im Aufgabenteil c) als "Abfallprodukt".

08.02.2014, 17:12

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} B'(t)=20t^{3}-300t^{2}+1000t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B'(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \cdot \left(20t^{2}-300t+1000\right)=0 => t_1=0 \, \, t_2=5 \, \, t_3=10 \end{eqnarray*}$

Hmm verwirrt

verwirrt

wie soll ich es dieses mal begründen smile

smile

^^.

Das Intervall liegt bei $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 10 \end{eqnarray*}$ , weil nach 10 Stunden die Besucheranzahl kontinuierlich steigt und nicht mehr sinkt d.h nach 10 Stunden gibt es keinen Wendepunkt mehr. Und in dem Intervall ist es sinnvoll, weil die Besucher nicht ins unendliche steigen. Sie steigen bis zu einem gewissen Punkt, weil es einen Hochpunkt bei x= 5 gibt, dann kann man sich gut vorstellen, dass die Besucher das Volksfest verlassen, aus irgendwelchen Gründen. Wenn allerdings die Grenze von 10 überschritten wird, existiert kein Hochpunkt, weshalb es am sinnvollsten ist, dieses Intervall zu wählen. smile

smile

08.02.2014, 17:41

Gast11022013

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Joar, das sollte wohl hinkommen.

Bei t=10 haben wir ja wieder einen Tiefpunkt wo noch 95 Personen da sind. Die gehören dann vielleicht zum Personal, oder Betrunkene die sich einfach auf ihrer suche nach einem Schlafplatz in eine Ecke gelegt haben.
Das Fest hat also keine Besucher mehr und ist vorbei.

Wie gesagt, mit der Begründung musst du das eigentlich nicht wirklich so ernst nehmen. Hauptsache du kannst ein plausibles Intervall angeben und was ist plausibler als den Anfang (t=0) und das Ende (dann wann keine Personen mehr da sind), zu betrachten.

Ich musste mal den sinnvollen Definitionsbereich für eine Funktion angeben die die Wärme von Kaffee darstellt oder so ähnlich. Zwar nicht in ner Abituraufgabe, aber in ner "normalen" Klausur. Hab da glaube ich einfach gesagt, dass die x-Werte nicht negativ sein dürfen.

08.02.2014, 17:48

Bonheur

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Alles klar. smile

smile

Ich habe alles verstanden. smile

smile

Vielen Dank Freude

Freude

Gmasterflash

08.02.2014, 17:50

Gast11022013

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Gern geschehen.

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