Aufgaben konvergenz Reihe/Folge |
| 08.02.2014, 13:03 | Rech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Aufgaben konvergenz Reihe/Folge Ich habe zwei Aufgaben (Reihen /Folgen) bei deren Lösung ich mir nicht sicher bin, da sie mir doch ein wenig zu simpel erscheint. 1) Beweise oder Wiederlege: Die Reihe (k=0 bis inf) a(k) konvergiert dann folgt darauf das die Reihe (k=0 bis inf) k*a(k) ebenfalls konvergiert. Meine Lösung (Gegenbeispiel) Reihe (k=0 bis inf) 1/k^2 konvergiert aber Reihe (k=0 bis inf) 1/k divergiert. Reicht das, bzw kann man das so machen? 2) Die Teilfolgen a(2k), a(3k) und a(5k), k aus den natürlichen Zahlen konvergieren gegen den gleichen Grenzwert. Beweise oder Wiederlege a(n), n aus den natürlichen Zahlen, konvergiert. Meine Lösung (Gegenbeispiel) lim(k to inf) a(2k) = lim(k to inf) a(3k) = lim(k to inf) a(5k) = 5 lim(k to inf) a(7k) = 4 Darauf folgt a(n) hat mindestens 2 Häufungspunkte und ist damit divergent. Auch hier die Frage nach der Richtigkeit. Vielen Dank für die Mühe ! |
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| 08.02.2014, 13:57 | Grautvornix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aufgaben konvergenz Reihe/Folge Das Gegenbeispiel zu 1 passt und wenn die Konvergenz bzw. Divergenz der beteiligten Reihen bekannt ist, dann reicht das so. Bei 2 kannst Du ja mal diese Folge betrachten: |
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| 08.02.2014, 14:12 | Rech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Gegenbeispiel für 2) gefällt mir sehr gut (deutlich schicker als mein Versuch ;-) sagt doch aber im Grunde das gleiche, oder sehe ich das falsch? Bei meinem Versuch ist halt die Folge halt nicht "komplett" beschrieben sondern lediglich um eine weitere Teilfolge ergänzt worden. Die Schlussfolgerung, dass aufgrund der unterschiedlichen Grenzwerte der Teilfolgen mindestens zwei Häufungspunkte existieren (in deinem Beispiel genau zwei) und eine konvergente Folge nur einen hat ist doch dann aber die selbe, oder? Die Aufgaben sind aus zwei Altklausuren und erschienen mir (gerade wenn ich den Rest der Klausuren betrachte...) als zu einfach, aber schön, dass es anscheind doch mal so simpel sein darf ;-) Danke !!! |
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| 08.02.2014, 14:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das siehst du falsch, denn du hast gar kein Gegenbeispiel genannt, sondern nur die Wunschvorstellung einer Folge, die so wie du sie geschrieben hast gar nicht erfüllbar ist:
Das müsste nämlich eine Folge sein, wo zugleich gegen 5 und 4 konvergiert - das geht nicht. 
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| 08.02.2014, 14:44 | Rech | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grrrrr klar, wie doof einfach mal davon auszugehen, dass alle Vielfache zweier Primzahlen voneinander unterschiedlich sind... Danke nochmals für beide Hilfestellungen!!! |
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