Diagonalisierbarkeit der Inversen Matrix

08.02.2014, 16:06	Yuri	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit der Inversen Matrix Meine Frage: Hallo liebes Matheboard, ich habe hier zu vielen Fragen schon Hilfe gefunden, stelle aber zum ersten mal selbst eine. Die Aufgabe die ich Lösen muss ist folgende: Es seien $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \in M(n\times n, K) \end{eqnarray}$ eine invertierbare Matrix, die durch $\begin{eqnarray} S \in M(n\times n, K) \end{eqnarray}$ diagonalisiert wird. Zeige, dass auch $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ diagonalisiert wird. Meine Ideen: Meine Idee war aus der Formel: $\begin{eqnarray} S^{-1} A S = B \end{eqnarray}$ folgendes zu machen. $\begin{eqnarray} \Rightarrow~S A^{-1} S^{-1} = B^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow~S^{-1} S^{-1} S A^{-1} S^{-1} S S = S^{-1} S^{-1} B^{-1} S S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow~S^{-1} A^{-1} S = S^{-1} S^{-1} B^{-1} S S \end{eqnarray}$ Dann müsste ich ja nurnoch zeigen, dass $\begin{eqnarray} B' = S^{-1} S^{-1} B^{-1} S S \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist, richtig? Nun fällt mir aber nichts ein, wie ich das machen könnte. Ich freue mich über alle Vorschläge, Gruß Yuri
08.02.2014, 16:32	Yuri	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe inzwischen die Lösung gefunden, der Ansatz war nicht wirklich korrekt, für diejenigen dies interessiert hier die Lösung: $\begin{eqnarray} z.Z.: A^{-1} diagonalisierbar durch S. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^{-1} A S = D \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S^{-1} A^{-1} S = ( A S )^{-1} S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ( S S^{-1} A S )^{-1} S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ( S D )^{-1} S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = D^{-1} S^{-1} S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = D^{-1} I = D^{-1} \end{eqnarray}$

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