Abstand windschiefer Geraden

08.02.2014, 22:20

GymSchüler2014

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Abstand windschiefer Geraden

Ich muss den Abstand folgender Geraden beweisen :
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> f1: \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} <br /> <br /> f2: \vec{x}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz : $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0<br /> <br /> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0<br /> <br /> I. 2x+2y-z=0<br /> II. 2x+y-z=0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich gerade nicht... Kann das Gleichungssystem nicht lösen

08.02.2014, 23:25

opi

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Dein Ansatz ist leider etwas wortkarg formuliert, aber Du bist anscheinend auf der Suche nach einem Normalenvektor. Wenn Du die erste Gleichung mit -1 multiplizierst und anschließend zur zweiten addierst, erhältst Du schon eine Lösung für y. Danach kannst Du willkürlich einen Wert für x festsetzen und eine der Gleichungen nach z auflösen.

Schneller geht's mit dem Vektorprodukt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.02.2014, 00:06

GymSchüler2014

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Das heißt einfach die beiden richtungsvektoren nach dem vektorproduktregel multiplizieren ?

09.02.2014, 00:21

opi

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Ja.

smile

Du erhältst einen Normalenvektor, der für die Abstandsberechnung der Geraden notwendig ist. Bitte nicht die Normierung ("auf die Länge eins bringen") vergessen.

09.02.2014, 00:32

GymSchüler2014

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"Bitte nicht die Normierung ("auf die Länge eins bringen") vergessen."

Was meinst du damit ?

Ich habe jetzt dafür $\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

raus.

09.02.2014, 00:35

GymSchüler2014

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Ich bin mal schlafen und schaue morgen vorbei smile

smile

Danke für deine Hilfe bislang

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09.02.2014, 00:51

opi

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Dein Normalenvektor ist richtig.

Wie berechntet ihr denn diese Abstände? Benutzt ihr eine Formel? Wenn ja, wie sieht die aus?
$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ ist ein Normalenvektor, der die Länge eins hat.
Welche Länge hat denn der von Dir ermittelte Normalenvektor?

Ich bin morgen auch wieder da. smile

smile

09.02.2014, 12:15

GymSchüler2014

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Ach das ist die Hesse´sche Normalenform mit $\begin{eqnarray*} |\vec{n_0} | \end{eqnarray*}$ .

Ich mache gerade die Themen im Buch durch zum Thema Ebenen und Abstände. Es gibt dort mehrere Formel ( Abstant Punkt/Ebene, Gerade/Ebene usw.). Ich lerne diese derzeit anzuwenden, ich war nämlich zu der Zeit, als es in der Schule durchgenommen wurde im Krankenhaus.

Mfg

09.02.2014, 14:08

GymSchüler2014

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habe als Abstand 15,65 raus . Habe es mit der Abstandsformel für windschiefe Geraden errechnet.

09.02.2014, 14:21

mYthos

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Die Abstandsformel ist der einfachste Weg, wenn man nicht auch noch die Endpunkte des Gemeinlotes benötigt.
Andernfalls empfiehlt sich die Methode des geschlossenen Vektorzuges, hier im Board schon mehrmals praktiziert.

Allerdings habe ich den Abstand als $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ berechnet ...
Zeige mal deine Rechnung!

mY+

09.02.2014, 15:14

GymSchüler2014

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also die formel lautet ja

$\begin{eqnarray*} <br /> d= |(\vec{p}-\vec{q})\cdot \vec{n_0} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \vec{n_0}= \vec{n}/|\vec{n}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \vec{n_0}= \begin{pmatrix} -1/\sqrt{5} \\ 0/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich alles in die Formel eingesetzt :

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> d=| \left[\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1/\sqrt{5} \\ 0/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix} | = | -23,7+8,05 | = 15,65<br /> \end{eqnarray*}$

09.02.2014, 16:35

opi

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} d=\left| \left[\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -1/\sqrt{5} \\ 0/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix} \right| \end{eqnarray*}$

Bis hierher stimmt's. Wie Du danach allerdings weitergerechnet hast, ist mir schleierhaft. verwirrt

verwirrt

Ziehe zunächst die beiden Vektoren in der eckigen Klammer voneinander ab und berechne anschließend das Skalarprodukt.

09.02.2014, 17:27

GymSchüler2014

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> | \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1/\sqrt{5} \\ 0/\sqrt{5}\\ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix} | = 4,170067911<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

09.02.2014, 17:37

opi

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Die linke Seite stimmt, danach läuft aber etwas ganz gewaltig schief. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Poste bitte die Zwischenschritte.

09.02.2014, 17:43

GymSchüler2014

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also -3*-1/5^0,5 = 1,341640787 ( sagt der Taschenrechner)
danach -4*0/5^0,5 =0
danach -1*-2/5^0,5 =0,894427191 ( sagt der Taschenrechner)

anschließend addiere ich alles zusammen und komme auf 2,236067977 = 5^0,5

Ich hatte mich wohl auf den Taschenrechner vertippt^^.
Danke für die Hilfe smile

smile

09.02.2014, 17:53

opi

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Tippe die Wurzel nicht jedes mal einzeln in den TR ein. Dieses Verfahren ist fehleranfällig und ungenau. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im Kopf geht es schneller:
$\begin{eqnarray*} \frac{-3\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt 5}=\frac{3+2}{\sqrt 5}=\frac {5}{\sqrt 5}=\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

09.02.2014, 18:02

GymSchüler2014

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ok ich merks mir smile

smile

danke

09.02.2014, 18:03

opi

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Gern geschehen! Wink

Wink

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