Beweis zur Teilbarkeit durch 3 ohne vollständige Induktion |
| 09.02.2014, 10:28 | Elmar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis zur Teilbarkeit durch 3 ohne vollständige Induktion Hallo zusammen, ich habe versucht, folgende Regel zu beweisen und wollte Euch fragen, ob "mein" Beweis richtig oder falsch ist: Behauptung: Eine ganze Zahl a ist ohne Rest durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme ohne Rest durch 3 teilbar ist. Meine Ideen: Beweis: Ich nehme als Beispiel eine dreistellige Zahl a mit den Ziffern x, y, z. (Man kann denselben Beweis auch für eine beliebige (n+1)-stellige Zahl durchführen, das Prinzip ist dasgleiche, aber mehr Schreibarbeit und nicht so übersichtlich wie bei einer 3-stelligen Zahl - siehe unten). Die 3-stellige Zahl a hat den Wert 100*x + 10*y + 1*z x, y, z sind natürliche Zahlen, denn x ist die Hunderterziffer, y die Zehnerziffer und z die Einserziffer a = 100*x + 10*y + 1*z (Gleichung I) Die Quersumme Q von a lautet: Q = x + y+ z Q sei ohne Rest durch 3 teilbar, d.h. Q ist ein ganzzahlig Vielfaches von 3, z.B. Q = n*3 (n sei eine bliebige natürliche Zahl) Q = 3*n x + y + z = 3*n Nach x umstellen: x = 3*n - y - z (Gleichung II) Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten: a = 100*(3*n - y - z) + 10*y + 1*z a = 3*100*n -100*y - 100*z + 10*y + 1*z a = 3*100*n -100*y +10*y -100*z + 1*z a = 3*100*n - 90* y - 99*z Faktor 3 ausklammern a = 3* (100*n - 30* y - 33*z) Die Zahl a (von der zu beweisen ist, daß sie ohne Rest durch 3 teilbar ist) ist also ein Produkt mit den Faktoren 3 und dem Klammerterm (100*n - 30* y - 33*z) Da der Klammerterm eine ganze Zahl ist (denn n, y und z sind natürliche Zahlen), ist a ein ganzzahlig Vielfaches von 3 und deshalb ohne Rest durch 3 teilbar. Der Beweisansatz für eine beliebige (n+1) stellige Zahl b lautet: b = 10^n * xn + 10^(n-1) * x(n-1) + ... +10^1 * x1 + 10^0 * x0 (Gleichung I) Die Quersumme von b lautet: Q = xn + x(n-1) + ... + x1 + x0 Q sei ohne Rest durch 3 teilbar: Q = 3*k (k sei eine beliebige natürliche Zahl) 3*k = xn + x(n-1) + ... + x1 + x0 Gleichung nach xn auflösen: xn = 3*k - x(n-1) - x(n-2) - ... - x1 - x0 (Gleichung II) den Term für xn aus Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzten b = 10^n *(3*k - x(n-1) - x(n-2) -...- x1-x0) +10^(n-1)*x(n-1)+ ... ........+10^1 * x1 + 10^0 * x0 b = 3*k*10^n - 10^n * x(n-1) + 10^(n-1) * x(n-1) - ... -10^n * x0 + x0 Die Terme, bei denen x denselben Index hat (z.B. (n-1)) können zusammengefaßt werden. Ich mache das mal als Beispiel für die x-Terme mit dem Index (n-1): - 10^n * x(n-1) + 10^(n-1) * x(n-1) = = - 10 * 10^(n-1) * x(n-1) + 1 * 10^(n-1) * x(n-1) = (- 10 +1) * 10^(n-1) * x(n-1) = (-9) * 10^(n-1) * x(n-1) Entscheidend ist der ausgeklammerte Faktor (-9), da er ohne Rest durch 3 teilbar ist. Bei allen anderen x-Termen (x(n-2), x(n-3)... x1, x0) läßt sich nämlich auch ein Faktor ausklammern, der ohne Rest durch 3 teilbar ist ( bei x(n-2) kann man (-99) ausklammern, bei x(n-3) kann man (-999) ausklammern usw.). D.h. die Zahl b (von der zu beweisen ist, daß sie ohne Rest durch 3 teilbar ist), ist eine Summe aus lauter Faktoren, die ein ganzzahlig Vielfaches von 3 sind. Somit ist b ohne Rest durch 3 teilbar. Stimmt der Beweis oder habe ich einen Denkfehler gemacht? Viele Grüße Elmar |
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| 09.02.2014, 10:49 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo,
Und daher ist deine Ausführung für den fall n=3 sinnfrei. Das ist ein Spezialfall, zu zeigen ist der allgemeine Fall. Ein Spezialfall ist oft übersichtlicher, aber halt nur ein Spezialfall. Ich sehe bei deinem Beweis keine Fehler, auch wenn er uetwas mständlich ist. Du kannst b-Q(b) z,B auch direkt berechnen und erhältst das gewünschte Ergebnis. Und ein Darstellungstipp: P.S. einsetzen ohne zweites t. Ich seh diese Fehler generell oft, wo kommt der her? |
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| 10.02.2014, 06:14 | Elmar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Super, dankeschön! Vielen Dank für Deine Antwort 
Hab mir schon gedacht, daß man einen Spezialfall nicht als allgemeingültigen Beweis nehmen darf. Aber ich bin froh, daß der Rest richtig ist (außer dem tzt 
- komisch, ist mir vorher nie aufgefallen)Viele Grüße und einen guten Start in die Woche! Elmar |
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| 10.02.2014, 10:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Off-topic
Das ist das "t", welches einem anderen Wort entschwunden ist und dann das (ebenfalls häufig zu lesende) "erhälst" zurückgelassen hat - bei diesem Wort befallen mich immer unangenehme Würgreflexe im Hals, wenn ich es lese. 
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