Supermartingal

09.02.2014, 11:34	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Supermartingal Guten Morgen alle zusammen, Es sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine unabhängige Folge von ZV mit $\begin{eqnarray} E(X_n^2)\leq 1 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen gilt es, dass $\begin{eqnarray} Y_n:=\prod_{k=1}^nX_k^2 \end{eqnarray}$ ein Supermartingal bezüglich $\begin{eqnarray} \digamma_n:=\sigma(X_k:\, 1\leq k\leq n) \end{eqnarray}$ ist. Zz gilt es also, dass $\begin{eqnarray} E(Y_t\|\digamma_s)\leq Y_s \, \forall s\leq t \end{eqnarray}$ . Sei also $\begin{eqnarray} s\leq t \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} E(Y_t\|\digamma_s)=E(\prod_{k=1}^tX_k^2\|\digamma_s)=_{(1)}E(\prod_{k=1}^sX_k^2\|\digamma_s)\cdot E(\prod_{k=s+1}^tX_k^2\|\digamma_s)=_{(2)}Y_s\cdot E(\prod_{k=s+1}^tX_k^2\|\digamma_s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1):\, X_k\, \text {sind unabhängig} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2):\, Y_s \, \text {ist} \, \digamma_s \, \text{-messbar} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich noch begründen, warum $\begin{eqnarray} E(\prod_{k=s+1}^tX_k^2\|\digamma_s)\leq 1 \end{eqnarray}$ gilt. Das gilt doch, da die $\begin{eqnarray} (X_k)_{s+1\leq k\leq t} \end{eqnarray}$ unabhängig sind und die Sigmaalgebra $\begin{eqnarray} \digamma_s \end{eqnarray}$ nur von den ersten "s" $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ abhängt. Diese Begründung erscheint mir jedoch mehr als schwammig . Ich würde mich über Hilfe freuen, MfG

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »