Maximum-Likelihood-Funktion berechnen

09.02.2014, 15:07

JasminK

Maximum-Likelihood-Funktion berechnen

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

Ich bereite mich gerade auf meine Stochastik-Klausur vor und sitze jetzt an einer Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiß was ich falsch mache:

Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{1}... X_{n} \end{eqnarray*}$ seien stoch. unabh. identisch verteilt mit der Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F_{\vartheta } (t)=1-(1-e^{t})^{-\vartheta} , t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie den Maximum-Likelihoodschätzer.

Meine Ideen:
Ich würde so vorgehen:

1) F differenzieren:

$\begin{eqnarray*} f_{\vartheta } (t)=\vartheta(1-e^{t})^{-\vartheta -1} \end{eqnarray*}$

Jetzt steht aber in der Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} f_{\vartheta } (t)=\vartheta(1-e^{t})^{-\vartheta -1}e^{t} \end{eqnarray*}$

Wieso kommt da noch das e^t hintendran? Ich differenziere doch nach Theta oder ?Die Innere Ableitung der Klammer ist deshalb meiner Meinung nach 1 und nicht e^t.

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir vlt sagen könntet, wo mein Denkfehler ist. Denn ohne die Funktion kann ich die Likelihoodfunktion nicht berechnen.

Vielen Dank schonmal smile

11.02.2014, 22:35

lego

Auf diesen Beitrag antworten »

f ist eine Funktion von t. Du leitest nach t ab.

11.02.2014, 22:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@JasminK

Mal rekapitulieren:

1) $\begin{eqnarray*} f_{\vartheta}(t) \end{eqnarray*}$ ist die Dichte zur Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{\vartheta}(t) \end{eqnarray*}$ , d.h., letztere wird dazu nach t abgeleitet, wie lego schon richtig angemerkt hat.

2) Das Produkt der Dichten an den Stellen der Stichprobenwerte ergibt die Likelihoodfunktion, d.h., $\begin{eqnarray*} L(\vartheta) = \prod_{k=1}^n f_{\vartheta}(t_k) \end{eqnarray*}$ .

3) Zur Bestimmung des Maximums der Likelihoodfunktion betrachtet man oft (nicht immer) deren Ableitung, das ist dann die nach $\begin{eqnarray*} {\color{red}\vartheta} \end{eqnarray*}$ .

Allem Anschein nach bringst du 1) und 3) durcheinander!

P.S.: Irgendwas stimmt ganz und gar nicht mit der Verteilungsfunktion

Zitat:

Original von JasminK
$\begin{eqnarray*} F_{\vartheta } (t)=1-(1-e^{t})^{-\vartheta} , t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn, wie ich annehme, $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ positiv sein soll, dann hat dieses
$\begin{eqnarray*} F_{\vartheta} (t) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ eine Polstelle!!! Finger1

Ich könnte mir vorstellen, dass stattdessen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F_{\vartheta } (t)=1-(1-e^{t})^{\vartheta} , t\in \mathbb R_- \end{eqnarray*}$

gemeint ist? verwirrt

Überprüfe das mal bitte.

Neue Frage »

Antworten »

Maximum-Likelihood-Funktion berechnen

Verwandte Themen