Das Volumen von Rotationskörpern

09.02.2014, 16:00

Bonheur

Das Volumen von Rotationskörpern

Ich habe mir gerade einige Texte über Rotationskörper durchgelesen. Mit der Integralrechnung bezogen auf die Rotationskörper z.B Flaschen, Scheinwerfer und Kugeln kann man die Volumina der Körper bestimmen. Nun versuche ich die Herleitung nachzuvollziehen.

$\begin{eqnarray*} \sum \pi \cdot f^{2}(x_i) \cdot \Delta{x} \end{eqnarray*}$

Leider verstehe ich diesen Ausdruck nicht.

Und eine Aufgabe gibt es auch dazu:

Ein Behälter zur Herstellung von Eis hat ein parabelförmiges Profil mit den angegebenen Maßen. Stellen sie zunächst die Gleichung der Profilkurve auf. Verwenden Sie den Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Errechnen Sie sodann das Fassungsvermögen des Behälters.

[attach]33180[/attach]

Idee: Bei der Aufgabe verstehe ich nicht, warum man diesen Ansatz braucht, obwohl es eine Parabel ist.

09.02.2014, 16:42

Bürgi

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RE: Das Volumen von Rotationskörpern
Hallo,

1. Diese Formel stellt die Summe von Zylindervolumina dar:

$\begin{eqnarray*} \sum \underbrace{\pi \cdot f^{2}(x_i)}_{\text{Kreisfläche}} \cdot \underbrace{\Delta{x}}_{\text{Zylinderhöhe}} \end{eqnarray*}$

(siehe Anhang)

Um die Berechnungen etwas zu vereinfachen, hat man den Eisbecher umgekippt (im praktischen Leben eher unzweckmäßig)

Aus der Zeichnung kannst Du entnehmen, dass der Punkt (20 /30) zu dem umgekippten Eisbecher gehören muss. Damit ist es Dir möglich den Koeffizienten a zu bestimmen.

09.02.2014, 16:56

Bonheur

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Hammer Zeichnung Freude

:=) Daran kann man das perfekt erkennen^^ Yes^^

$\begin{eqnarray*} 30=a \cdot \sqrt{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{\sqrt{20}}=a => a=6,7082 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=6,7082 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

[attach]33186[/attach]

Wie muss ich weiterverfahren ?^^

09.02.2014, 17:10

Bürgi

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Hallo,

im Prinzip musst Du nun das Intervall [0; 20] auf der x-Achse in n Teilstücke zersägen (das sind dann die $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ) und für jeden dieser Teilstücke den Funktionswert und dann das dazu gehörige Zylinderchen .... Du siehst, das Ganze artet schnell in eine wüste Rechnerei aus.

Wenn $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ dann wird aus der Summe ein Integral (was auch eine Summe ist):

$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0}\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left( \pi \cdot f^{2}(x_i) \cdot \Delta{x} \right) \right) = \int_0^{Obergrenze}\left(\pi \cdot f^2(x)\right) dx \end{eqnarray*}$

... und vielleicht siehst Du jetzt, warum es zweckmäßig war $\begin{eqnarray*} f(x)=a \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ zu nehmen.

EDIT: Ich muss jetzt leider dringend weg. Bin frühestens morgen früh wieder online.

09.02.2014, 17:33

Bonheur

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Ich tendiere zu der Annahme, dass man so eine Parabel nicht konstruieren kann, deshalb ist es zweckmäßig den Ansatz anzuwenden. Und das Profil ist nur Parabelförmig, weil wir den Ast der Funktion rotieren gelassen haben oder? smile

Muss man hier als Obergrenze 20 wählen ?

[attach]33187[/attach]

Also würde gelten:

Zitat:

Original von Bürgi
$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0}\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left( \pi \cdot f^{2}(x_i) \cdot \Delta{x} \right) \right) = \int_0^{Obergrenze}\left(\pi \cdot f^2(x)\right) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_0^{20}\left (6,7082 \cdot \sqrt{x}\right)^{2} dx \end{eqnarray*}$

Demnach würde das gelten oder?

Edit: Alles Klar Bürgi smile

10.02.2014, 08:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bonheur
Demnach würde das gelten oder?

Im Prinzip ja, und wenn du statt 6,7082 den exakten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{30}{\sqrt{20}} \end{eqnarray*}$ verwendest, rechnet sich das ganze etwas einfacher. smile

10.02.2014, 11:56

Bürgi

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Guten Morgen,

Zitat:

Demnach würde das gelten oder?
$\begin{eqnarray*} f(x)=6,7082 \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip schon, aber wenn Du klarsoweits Vorschlag übernimmst und $\begin{eqnarray*} \textstyle \frac{30}{\sqrt{20}}=\sqrt{45} \end{eqnarray*}$ verwendest, wird Dein Integral besonders einfach:

$\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_0^{20}\left (\sqrt{45} \cdot \sqrt{x}\right)^{2} dx = 45 \pi \int \limits_{0}^{20} x dx \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 19:08

Bonheur

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Verstehe. Ich danke euch smile

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