Verschoben! Hoch-und Tiepfpunkte (VZW)

09.02.2014, 16:29

yaren_mgt

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Hoch-und Tiepfpunkte (VZW)

Meine Frage:
Hallo smile

smile

ich bräuchte Hilfe bei unserem neuen Thema: Es geht um Hoch-und Tiefpunkte rechnerisch zu bestimmen.
Ich versteh das i.- nicht. Die Erklärungen aus dem Buch helfen i.- nicht unglücklich

unglücklich

Wir haben auch schon mehrmals den Lehrer gefragt,aber wir haben immer noch Schwierigkeiten damit. Wir haben mit einer Aufgabe angefangen nr 2g (s.bild) Man bildet erst die Ableizung,dann ausklammern und dann die Nullstellen. Bis dahin habe ich es verstanden. Dann kommt eine Tabelle mit Intervallen, mit x0, und dann mit Pfeilen. (s.bild) Ab da versteh ich es nicht. Die Intervalle sind die Nullstellen. dann wurden Zahlen eingesetzt ,aber wieso? Und dann wurden halt Pfeile gezeichnet, um zu sehen ob es fällt,steigt oder waagerecht weitergeht. Aber wieso? Ist das für die Zeichnung wichtig? Ah noch zu den Pfeilen: Woher weiß man das es runtergeht oder hochgeht? Ich weiss das hört sich dumm an,aber ich bin echt verwirrt. Dann meinte unser Lehrer das wir noch die y.Punkte rausbekommen sollen. Aber wie geht das? weiteres steht im Bild.

Die Aufgabe bei 2 lautet: Bestimme Hoch,Tief bzw Sattelpunkte des Graphen von f. Skizziere anschließend den Graphen von f. Also wenn ich g verstanden habe,dann hoffe ich,das ich dann h)alleine hinbekomme.

[attach]33184[/attach]

das was wir aufgeschrieben haben:

[attach]33182[/attach]

Lösungen aus dem LösBuch:

[attach]33183[/attach]

Soll ich auch das was im Buch steht hochladen?

Bin für jede Antwort dankbar!
LG

Meine Ideen:
..

ahh hab auch vergessen zu schreiben,das das mit dem vorzeichenwechsel zutun hat:ich versteh das einfach nicht:O unglücklich

unglücklich

09.02.2014, 17:58

Mogelbaum

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Man bestimmt die Intervalle, um zu sehen, wie der Graph aussieht. Wie dir bekannt ist, gibt die Ableitungsfunktion, die Steigungsfunktion an, weshalb du bestimmen kannst, wie der Graph f weiterverläuft. Du kannst überprüfen, ob du ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt hast.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$

Du kannst nun diese Funktion auf Extrema untersuchen, deshalb leitest du die Funktion ab.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{3}-2x^{2}-3x \end{eqnarray*}$

Da die Ableitungsfunktion die Steigung an jeder Stelle angibt, kannst du überprüfen, wann der Graph steigt und wann er fällt. Zuerst berechnest du die x-Werte der Extrema: $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3}-2x^{2}-3x=0 => x_1=-1 |x_2=0 |x_3=3 \end{eqnarray*}$

Nun weißt du, dass es drei Extremstellen geben muss !

Um zu überprüfen, ob es sich nun, um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt, hast du zwei Methoden zur Verfügung: Entweder bildest du zweite Ableitung oder du nimmst den erschwerten Weg mit den Intervallen.

Zuerst betrachtest du den ersten Extrempunkt: x=-1

$\begin{eqnarray*} I: \, x < -1 \end{eqnarray*}$

Wenn du nun die Steigung z.B bei -2 berechnest, erhälst du eine negative Steigung, weshalb der Graph f sinkt und wenn der Graph f sinkt, hast du einen Tiefpunkt !

Verstehst du es?

09.02.2014, 18:02

yaren_mgt

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hallo

smile

erstmal danke smile

smile

bis dahin hab ich es jetzt verstanden smile

smile

09.02.2014, 18:03

Mogelbaum

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Mach das jetzt genau mit den zwei anderen Extremwerten und sag mir, ob es sich um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

09.02.2014, 19:02

yaren_mgt

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also wenn man in die erste ableitung -0,5 einsetzt , dann habe ich eine pos. Steigung. ein hochpunkt ist vorhanden.
und wenn man 1 einsetzt habe ich eine negative steigung also einen tiefpunkt smile

smile

09.02.2014, 19:05

Mogelbaum

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Richtig.

Dann hast du ein Tiefpunkt bei x=-1, einen Hochpunkt bei x=0, einen Tiefpunkt bei x=3[/latex]

Jetzt kannst du die Punkte bestimmen?

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09.02.2014, 19:11

yaren_mgt

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ganz ehrlich nein:O wie soll ich denn die y-punkte bestimmen? unglücklich

unglücklich

unglücklich

09.02.2014, 19:15

Mogelbaum

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Du musst nun die Koordinaten der Extrema bestimmen.
Ein Punkt besteht aus einem x-Wert und einem y-Wert, den x-Wert hast du schon bestimmt.

$\begin{eqnarray*} P_{Allgemein}\left(x \, \bigg{|} \, y\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{1}\left(-1 \, \bigg{|} \, ?\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_{1}\left(0 \, \bigg{|} \, ?\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{1}\left(3 \, \bigg{|} \, ?\right) \end{eqnarray*}$

Dir fehlt also nur noch der y-Wert ! Weißt du wie man den y-Wert berechnet ?

09.02.2014, 19:22

yaren_mgt

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nein..das ist ja mein problem unglücklich

unglücklich

ahh noch was: ich bin grad verwirrt: wir haben doch die zahlen -2; 0,5 ; und 1 in die ableitung eingesetzt und haben tief- und hochpunkte herausbekommen. aber gelten die punkte nicht für den grapf von f' und nicht für f? aber wir wollen doch die steigung für f ? oder nicht?:0

09.02.2014, 19:28

Mogelbaum

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[attach]33189[/attach]

Du musst quasi die Höhe bestimmen und die Höhe ist der y-Wert und der y-Wert berechnet sich aus .... , versuche selber darauf zu kommen, wenn du es nicht schafft, sag ich es dir.

09.02.2014, 19:34

yaren_mgt

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nein ich komm nicht drauf unglücklich

unglücklich

09.02.2014, 19:39

Mogelbaum

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Zitat:

Original von yaren_mgt
ahh noch was: ich bin grad verwirrt: wir haben doch die zahlen -2; 0,5 ; und 1 in die ableitung eingesetzt und haben tief- und hochpunkte herausbekommen. aber gelten die punkte nicht für den grapf von f' und nicht für f? aber wir wollen doch die steigung für f ? oder nicht?:0

Wie gesagt, die Ableitung f'(x) gibt dir die Steigung an jeder Stelle von f(x) an.
Und wenn du z.B die Steigung an der Stelle x=-2 bestimmen möchtest, setzt du halt den Wert in die Ableitungsfunktion ein, um zu gucken, wie die Steigung ist und wenn ein negativer Wert rauskommt, sinkt der Graph f an der Stelle !

Zum y-Wert:

Der y-Wert berechnet sich aus $\begin{eqnarray*} f(-1)=y=? \end{eqnarray*}$

Du musst quasi den x-Wert in die Funktion einsetzen, um den y-Wert zu bestimmen.

09.02.2014, 19:48

yaren_mgt

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ah ok danke smile

smile

das mit x-wert in die funktion einsetzen: wie? ich weiss nicht was du meinst? unglücklich

unglücklich

09.02.2014, 19:51

Mogelbaum

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$\begin{eqnarray*} y=f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2} \end{eqnarray*}$

Nun setzt du für x = -1 ein, damit du den y-Wert an dieser Stelle bestimmst.

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y=f(-1)=\frac{1}{4}x \cdot \left(-1^{4}\right)-\frac{2}{3} \cdot \left(-1^{3}\right)-\frac{3}{2} \cdot \left(-1^{2}\right) \end{eqnarray*}$

09.02.2014, 20:05

yaren_mgt

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ahh so hab ich das auch gemacht.. aber ich bekomm jedesmal was anderes raus als in den ergebnissen. unglücklich

unglücklich

09.02.2014, 20:08

Mogelbaum

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Ich komme auf das richtige Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} y=f(-1)=\frac{1}{4} \cdot \left(-1^{4}\right)-\frac{2}{3} \cdot \left(-1^{3}\right)-\frac{3}{2} \cdot \left(-1^{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Weißt du wie man Brüche addiert oder subtrahiert?

09.02.2014, 20:17

Mogelbaum

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Es tut mir leid.

Ich habe einen Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} y=f(-1)=\frac{1}{4} \cdot \left(-1^{4}\right)-\frac{2}{3} \cdot \left(-1^{3}\right)-\frac{3}{2} \cdot \left(-1^{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt!

09.02.2014, 20:20

yaren_mgt

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jaa... hab nach endlichen versuchen das richtige ergebnis bekommen smile

smile

danke dir

smile

bei anderen 2 werde ich das auch so machen.. und dann einzeichnen oder?das wars oder nicht? smile

smile

09.02.2014, 20:22

Mogelbaum

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Oui.

Bitte schön smile

smile

Wenn du willst, kannst du auch den Graph f zeichnen.

09.02.2014, 20:36

yaren_mgt

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ok das mache ich smile

smile

vielen lieben dank! smile

smile

schönen abend noch smile

smile

09.02.2014, 20:37

Mogelbaum

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Gern geschehen.

Schönen Abend noch Wink

Wink

09.02.2014, 20:42

yaren_mgt

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ich bins nochmal ._.
tut mir leid,aber ich hab vergessen zu fragen,wie man den sattelpunkt bestimmt unglücklich

unglücklich

könntest du mir das kurz erklären? sowie wie den y-achsenabschnitt unglücklich

unglücklich

den kann man doch an den pfeilen ablesen oder nicht?:/

09.02.2014, 20:45

Mogelbaum

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Für den y-Achsenabschnitt gilt: $\begin{eqnarray*} f(0)=y \end{eqnarray*}$ IMMER!
Die Bedingungen für ein Sattelpunkt lauten:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn diese drei Bedingungen erfüllt sind, hast du ein Sattelpunkt.

09.02.2014, 20:56

yaren_mgt

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was meinst du mit f(0)=y immer?
das der y-achsenabschnitt immer 0 sein muss?
weil im lösBuch ist bei h der y-achsenabschnitt bei (0/-4) ..
kann ich die lösungsschritte bei g) auch bei h) anwenden? weil da ist auch nach dem sattelpunkt gefragt..muss ich die 2.ableitung bilden?

09.02.2014, 20:57

Mogelbaum

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Beim y-Achsenabschnitt beträgt x immer null. Daraus kann man folgenden Ansatz herleiten: $\begin{eqnarray*} f(0)=y \end{eqnarray*}$ .

Zum Rest: Ja, musst du!

09.02.2014, 21:06

yaren_mgt

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wenn ich die 2.ableitungg bilde, muss ich meine nullstellen einsetzen um den sattelpunkt zu bekommen oder wie? tut mir leid wegen den vielen fragen,aber unser lehrer hat das garnicht erklärt..

09.02.2014, 21:09

Mogelbaum

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Du musst die zweite Ableitung bilden und dann die Nullstellen bestimmen. Dann vergleicht du die Nullstellen der zweiten Ableitung mit der ersten Ableitung.

09.02.2014, 21:12

yaren_mgt

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wieso vergleichen? unglücklich

unglücklich

09.02.2014, 21:18

Mogelbaum

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Ein Sattelpunkt ist eigentlich eine "falsche Extremstelle". Es ist quasi ein Wendepunkt mit einer zusätzlichen Bedingung und zwar $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ , welches bedeutet, dass die Steigung null ist, weshalb man eine waagerechte dementsprechend bekommt. Wenn nun eine Nullstelle der ersten Ableitung und der zweiten Ableitung identisch ist, hast du ein Sattelpunkt, natürlich muss die dritte Bedingung auch erfüllt sein.

Ich muss aber jetzt weg. Vielleicht übernimmt ein anderer, wenn nicht, bin ich morgen wieder da.

09.02.2014, 21:22

yaren_mgt

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ahh ok

smile

vielen dank! smile

smile

tschüss!

Wink

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