L2 Projektion - Anwendung; x^2 in [0,1]

09.02.2014, 19:38

avelin

L2 Projektion - Anwendung; x^2 in [0,1]

Hallo Leute, ja ich bin neu hier, und ja ich hab die Suchfunktion benutzt, allerdings bin ich vielleicht etwas "vernagelt" im Moment, da ich nichts passendes gefunden habe - aber bekanntlich ist die Konzentration indirekt proportional zum Verzweiflungs/Stressfaktor, also bitte nur einen kleinen Wink und nicht mit der dicken Keule auf mich drauf hauen wenn es gar zu offensichtlich sein sollte! - danke.

Hier nun die Näherungsaufgabe, die mich den Schlaf und Nerven kostet;

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} I=[0,1] \end{eqnarray*}$ , bestimme für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ die Projektion auf den Raum der stückweise linearen Ansatzfunktionen. Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_{0}=0, x_{1}=\frac{2}{3}, x_{2}=1 \end{eqnarray*}$ . (Zum Schluss noch Approximationsfehler in der L2 Norm berrechnen, imho kein Problem)

So, die Ansatzfunktionen krieg ich hin, das sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{0}(x)=1-\frac{3}{2}x ; [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x)=\frac{3}{2}x ; [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x)=3-3x ; [\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{2}(x)=3x-2 ; [\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$

Daraus gibts dann die Massematrix (Gramsche):
$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} & 0 \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{18} \\ 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{9}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist ja bekanntlich
$\begin{eqnarray*} M\cdot ~\overrightarrow{a}=~\overrightarrow{f} \end{eqnarray*}$

soweit alles klar (und hoffentlich auch nicht verrechnet), aber wie ermittle ich nun $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{f} \end{eqnarray*}$ ?
am Ende sollte dann $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{12} \\ \frac{7}{18} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{f}=\begin{pmatrix} -\frac{2}{81} \\ \frac{19}{108} \\ \frac{43}{324} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, und das funktioniert auch offensichtlich mit der Matrix, aber wie komme ich da drauf?
Ich habe versucht $\begin{eqnarray*} ~\overrightarrow{f} \end{eqnarray*}$ über die einzelnen $\begin{eqnarray*} f_{i}=\int_a^b\! f(x)~\phi_{i}(x) \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ zu errechnen - aber das hat mich nicht mal ansatzweise zu dem geforderten Vektor gebracht.

Die Befürchtung ist nun, mir ist ein entscheidender Zusammenhang/eine Herleitung entgangen, oder ich bin total unfähig bei der Auswahl der richtigen Ansatzfunktion und den dazu passenden Integrationsgrenzen?

Herzlichen Dank schon im vorraus!

edit;tippfehler

09.02.2014, 19:56

Math1986

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RE: L2 Projektion - Anwendung; x^2 in [0,1]
Kannst du das nochmal sauber aufschreiben?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ~\phi_{0}(x)=1-\frac{3}{2}x ; [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x)=\frac{3}{2}x ; [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x)=3-3x ; [\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{2}(x)=3x-2 ; [\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$

Was genau ist hier gemeint?

Zitat:

Daraus gibts dann die Massematrix (Gramsche):
$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} & 0 \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{18} \\ 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{9}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf diese Gramsche Matrix?

09.02.2014, 21:23

avelin

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Ansatzfunktionen, stückweise, das kleine Diagramm von Hand, hoff das is ok

[attach]33194[/attach]

so dann nochmal ohne Vereinfachungen:
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{0}(x)=\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}=\frac{\frac{2}{3}-x}{\frac{2}{3}-0}=1-\frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x)=\frac{x_{0}-x}{x_{0}-x_{1}}=\frac{0-x}{0-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x)=\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1-x}{1-\frac{2}{3}}=3(1-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ~\phi_{2}(x)=\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{2}}=\frac{\frac{2}{3}-x}{\frac{2}{3}-1}=3x-2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[\frac{2}{3},1] \end{eqnarray*}$

in übrigen Bereichen sind Funktionen 0.

Massematrix für stückweise lineare Funktionen (ohne Herleitung), bezogen auf Schrittweiten, $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} M_{[k,k]}=\frac{1}{6}h_{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{[k+1,k]}=\frac{1}{3}h_{k}+\frac{1}{3}h_{k+1} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} h_{k} \end{eqnarray*}$ sind dann $\begin{eqnarray*} 0,\frac{2}{3},\frac{1}{3},0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{[0,0]}=\frac{1}{3} \cdot 0+ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{[1,1]}=\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{[2,2]}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$
da symetrisch, [k,k+1]=[k+1,k]:
$\begin{eqnarray*} M_{[0,1]}=\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_{[1,2]}=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$
restlichen 2 Elemente sind 0.
Herleiten, bzw. jedes einzelne Matrixelement aufintegrieren über die Ansatzfunktion und ihren Definitionsbereicht krieg ich auch hin, kommt das selbe raus, ist aber bissi viel Schreibarbeit in Latex traurig

10.02.2014, 02:28

avelin

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zum Schlafen hinlegen, und mit der Erkenntnis aufspringen, dass man die Integrationsintervalle vielleicht aufsplitten sollte, und schon wird ein Schuh draus...

Jetzt fehlt mir nur noch, wenn ich das resultierende Näherungspolynom
$\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=-\frac{1}{12}~\phi_{0}(x)+\frac{7}{18}~\phi_{1}(x)+1~\phi_{2}(x) \end{eqnarray*}$
anschreibe, welches $\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x) \end{eqnarray*}$ verwende ich? Oder muss ich streng genommen 2 Varianten anschreiben, mit Unterscheidung nach Gültigkeitsbereich?

Weiters frage ich mich, zwar gibt es für diese "kleinen" Matrizen noch Formeln, und für Diagonalmatrizen beliebiger Grösse ist es auch einfach, aber was kann ich bei einer Tridiagonalmatrix wie dieser tuen? Zusätzlich ist sie noch Diagonaldominant - bringt mir das einen weiteren Vorteil bei der Berechnung der Inversen, ne oder?

10.02.2014, 10:44

Math1986

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Zitat:

Original von avelin
Jetzt fehlt mir nur noch, wenn ich das resultierende Näherungspolynom
$\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=-\frac{1}{12}~\phi_{0}(x)+\frac{7}{18}~\phi_{1}(x)+1~\phi_{2}(x) \end{eqnarray*}$
anschreibe, welches $\begin{eqnarray*} ~\phi_{1}(x) \end{eqnarray*}$ verwende ich? Oder muss ich streng genommen 2 Varianten anschreiben, mit Unterscheidung nach Gültigkeitsbereich?

Du müsstest da, wenn ich es richtig sehe, die Funktion stückweise definieren. Je nachdem ob x < 2/3 oder nicht.

10.02.2014, 11:36

avelin

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Das hatte ich mir schon gedacht, sieht dann zwar ein wenig unschön aus, aber anders macht es auch keinen Sinn.

Dennoch bleibt die Frage nach einer möglichst optimalen Lösung für das Errechnen der Inversen, gibt es da irgendwelche Tricks, die auch bei einer tatsächlichen Anwendung Sinn machen würden?

Eine weitere Sache hab ich noch versucht... wenn ich die Legendre Polynome als Ansatzfunktionen im Definitionsbereich [-1,+1] nehme, und die Massematrix aufstelle, ist die ja nur Diagonal besetzt - aber ich dachte sie wäre nur mit 1 besetzt, also quasi die Einheitsmatrix. Wenn ich es mir ausrechne sind die Terme aber $\begin{eqnarray*} 2,\frac{2}{3}, \frac{2}{5},... \end{eqnarray*}$ , hab ich mich verrechnet oder hab ich nur zuviel erwartet?

10.02.2014, 11:55

Math1986

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Zitat:

Original von avelin
Dennoch bleibt die Frage nach einer möglichst optimalen Lösung für das Errechnen der Inversen, gibt es da irgendwelche Tricks, die auch bei einer tatsächlichen Anwendung Sinn machen würden?

Wüsste ich in dieser Allgemeinheit nicht.

Zitat:

Original von avelin
Eine weitere Sache hab ich noch versucht... wenn ich die Legendre Polynome als Ansatzfunktionen im Definitionsbereich [-1,+1] nehme, und die Massematrix aufstelle, ist die ja nur Diagonal besetzt - aber ich dachte sie wäre nur mit 1 besetzt, also quasi die Einheitsmatrix. Wenn ich es mir ausrechne sind die Terme aber $\begin{eqnarray*} 2,\frac{2}{3}, \frac{2}{5},... \end{eqnarray*}$ , hab ich mich verrechnet oder hab ich nur zuviel erwartet?

Die Legendre-Polynome sind nicht orthonormal, sondern nur orthogonal. Du müsstest diese vorher normieren um auf eine Einheitsmatrix zu kommen.

10.02.2014, 13:14

avelin

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danke, wenn ich das Quadrat des Polynoms mit dem Faktor der Matrix auf 1 normiere, funktioniert das auch sehr gut:

$\begin{eqnarray*} \left||L_{k}(x)\right||=\sqrt{\frac{2k+1}{2}}L_{k}(x) \end{eqnarray*}$

hoff das darf man so schreiben.

10.02.2014, 15:38

Math1986

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Ja darf man, wenn ihr das so definiert habt.

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