Satz von Bayes, mehrstufig

09.02.2014, 19:52

leo111

Satz von Bayes, mehrstufig

Ein Test zum Erkennen einer Krankheit erkennt mit 95%iger Wahrscheinlichkeit erkrankte Personen. Man sagt, das Testergebnis sei positiv. Von den Gesunden werden 1% als positiv registriert. A priori sind 0,1% Personen erkrankt.

a) Wie groß ist die WS, dass eine positiv getestete Person tatsächlich erkrankt ist?
b) Bei einer Wiederholung ist das Testergebnis negativ. Wie groß ist jetzt die WS einer Erkrankung?

also a) habe ich denke ich richtig gelöst:

(0,95*0,001) : (0,95*0,001 + 0,999*0,01) = 0,086937

Die WS, dass eine Person tatsächlich erkrankt ist, lautet 8,7%. s Augenzwinkern

bei b) habe ich leider keinen richtigen Ansatz: Ich kann ja nicht einfach nach dem Schema wie in a) verfahren, da es ja in den Schritten auf einander aufbauen soll....? verwirrt

Kann mir jemand helfen?

Danke! smile

10.02.2014, 09:43

Kasen75

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Hallo,

ich würde die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass das die Person erkrankt ist, unter der Bedingung, dass das Testergebnis negativ ist, Und diese Wahrscheinlichkeit mit dem Ergebnis aus a) multiplizieren.

Grüße.

10.02.2014, 11:14

HAL 9000

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Es wird davon ausgegangen, dass mehrere Wiederholungen solcher Tests bedingt unabhängig vonander ablaufen, unter der Bedingung, dass die Testperson krank ist, bzw. auch unabhängig unter der anderen Bedingung, dass die Testperson gesund ist. Bezeichnen wir die relevanten Ereignisse

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ... Krank
$\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ ... Test 1 positiv
$\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ ... Test 2 positiv .

Du suchst nun $\begin{eqnarray*} P(K \bigm| T_1\cap T_2^c) \end{eqnarray*}$ , das geht genauso mit Bayes

$\begin{eqnarray*} P(K \bigm| T_1\cap T_2^c) = \frac{P(T_1\cap T_2^c \bigm| K)\cdot P(K)}{P(T_1\cap T_2^c)} \end{eqnarray*}$ ,

wobei im Nenner

$\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2^c) = P(T_1\cap T_2^c \bigm| K)\cdot P(K) + P(T_1\cap T_2^c \bigm| K^c)\cdot P(K^c) \end{eqnarray*}$

ist. Die genannte bedingte Unabhängigkeit liefert nun

$\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2^c \bigm| K) = P(T_1 \bigm| K) \cdot P(T_2^c \bigm| K) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2^c \bigm| K^c) = P(T_1 \bigm| K^c) \cdot P(T_2^c \bigm| K^c) \end{eqnarray*}$

Also konkret mit Zahlen

$\begin{eqnarray*} P(K \bigm| T_1\cap T_2^c) = \frac{0.95\cdot 0.05\cdot 0.001}{0.95\cdot 0.05\cdot 0.001 + 0.01\cdot 0.99\cdot 0.999} \end{eqnarray*}$ .

10.02.2014, 11:55

Kasen75

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@HAL

Deine Argumentation ist sehr stringent.

10.02.2014, 12:08

leo111

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das wäre ja dann (0,001*0,05) : (0,001*0,05 + 0,999*0,99)= 0,000051

und das multipliziert mit a):
0,000051* 0,086837= 0,000004

Demnach wäre die a posteriori WS nun 0,0004% für eine Erkrankung. Nach der Vergleichslösung meines Lehrers soll es aber etwa 0,00475% sein.

verwirrt

kann mir da jemand weiterhelfen?

10.02.2014, 12:12

leo111

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@ HAL 9000

ich verstehe diese Schreibweise leider nicht so, aber wenn ich das richtig sehe gehst du nicht darauf ein, dass der zweite Test negativ ausfallen solll

oder?

10.02.2014, 12:58

HAL 9000

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Keine Ahnung, warum du da noch was dranmultiplizierst, bzw. was du da überhaupt rechnest. Das hier

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} P(K \bigm| T_1\cap T_2^c) = \frac{0.95\cdot 0.05\cdot 0.001}{0.95\cdot 0.05\cdot 0.001 + 0.01\cdot 0.99\cdot 0.999} \end{eqnarray*}$ .

war jedenfalls direkt als Endergebnis zu b) gemeint, und es kommen ja auch die von dir eben (in etwa) bestätigten 0.00478 heraus.

P.S.: Und natürlich gehe ich drauf ein, dass der zweite Test negativ ausgefallen ist: $\begin{eqnarray*} T_2^c \end{eqnarray*}$ steht für Ereignis-Komplement von $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

10.02.2014, 13:42

leo111

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oh ja danke Augenzwinkern

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