Reelle Lösung mit komplexen Eigenvektoren

09.02.2014, 20:07	Michael89	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Lösung mit komplexen Eigenvektoren Gegeben sind die folgenden Eigenvektoren des DGL-Systems: $\begin{eqnarray} \vec{x}_{1} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}~,~\vec{x}_{2} =\begin{pmatrix} 5 \\ -7+4i \\ 3-i \end{pmatrix}e^{it}~,~\vec{x}_{3} =\begin{pmatrix} 5 \\ -7-4i \\ 3+i \end{pmatrix}e^{-it}~;~\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=i,\lambda_{3}=-i<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Nun soll die reelle Lösung angegeben werden. Dabei wird die Regel $\begin{eqnarray} e^{it}=cos~t+i\cdot sin~t \end{eqnarray}$ benutzt. Nun ist meine Frage, wie man dies berechnet? Der Ansatz ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -7+4i \\ 3-i \end{pmatrix} (cos~t +i \cdot sin~t) =? \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe. Grüße, Michi
09.02.2014, 20:18	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dazu musst du folgendes tun: Den Vektor als Summe von 2 Vektoren darstellen: Wobei der 1. Vektor die Realteile des ursprünglichen Vektors enthält und der 2. Vektor die Imaginärteile multipliziert mit i als Einträge haben soll. Hilft dir das?
09.02.2014, 20:45	Michael89	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Realteil wäre $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5cos~t \\ -7cos~t-4sin~t \\ 3cos~t +sin~t\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ oder? Der Imaginärteil wird dann mit i multipliziert, sieht aber anders aus bzw. weiß ich nicht wie er berechnet wird. Hoffe du kannst mir da nochmal auf die Sprünge helfen.
10.02.2014, 11:23	Michael89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab grad die Lösung gefunden: $\begin{eqnarray} \vec{x}_2=\begin{pmatrix} 5cos~t \\ -7cos~t - 4sin~t \\ 3cos~t+sin~t \end{pmatrix}+i \cdot \begin{pmatrix} 5sin~t \\ 4cos~t - 7sin~t \\ -cos~t+3sin~t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Allerdings verstehe ich nicht, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Ausgehend von meinem Ansatz, muss man den Vektor in Real- und Imaginärteil aufteilen. Mein Realteil stimmt mit dem der Lösung überein, welcher lediglich die einfache Multiplikation des ursprünglichen Vektors mit (cos t+i*sin t) ist. Aber wie bestimmt man den Imaginärteil?
11.02.2014, 17:56	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du kannst doch schreiben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -7+4i \\ 3-i \end{pmatrix} (cos(t)+isin(t)) = (\begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} i) (cos(t)+isin(t)) \end{eqnarray*}$

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