Partialbruchzerlegung

10.02.2014, 00:29

lauraam

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Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Ich soll die Partialbruchzerlegung der folgenden Funktion berechen: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, f(z)=\frac{z^{3}-13z-13 }{z^{2}-z-12 } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also wenn ich das richtig verstanden haben, muss ich nun mit einer Polynomdivision beginnen? Zähler dividiert durch den Nenner; wobei ich z+1 mit Rest -24z+25 als Ergebnis bekomme? Wie machen ich da jetzt weiter?

10.02.2014, 09:05

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Laut deiner Rechnung müßte also $\begin{eqnarray*} \frac{z^3-13z-13 }{z^2-z-12} = z+1 + \frac{-24z+25}{z^2-z-12} \end{eqnarray*}$ sein?

Einfaches Einsetzen von z=1 zeigt sofort, daß das nicht stimmen kann. smile

smile

10.02.2014, 11:54

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Das war ja was mich gestört hat...wie muss ich das denn dann angehen?
Aber wie ich grade sehe habe ich das im Skript gestern wohl auch etwas falsch gelesen...demnach müsste es eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{-24z+25}{(z+3)(z-4)}+z+1 \end{eqnarray*}$ , aber auch das kommt ja nicht hin...also wie geht das verwirrt

verwirrt

10.02.2014, 13:04

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Die Frage ist doch, wie du bei der Polynomdivision auf den Rest -24z+25 gekommen bist?

10.02.2014, 13:28

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Im Nenner habe ich statt mit der -12 mit +12 gerechnet Hammer

Hammer

Eigentlich ist der Rest -1 und das Ganze dann $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{z^{2}-z-12 }+z+1 \end{eqnarray*}$ ?

10.02.2014, 13:57

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Und die Partialbruchzerlegung dann $\begin{eqnarray*} z+1+\frac{1}{7}*\frac{1}{(z+3)}-\frac{1}{7}*\frac{1}{(z-4)} \end{eqnarray*}$ ?

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10.02.2014, 14:20

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Richtig. smile

smile

10.02.2014, 14:38

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Gut...und bei der Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{z-5}{z^{2}-6z+9 } \end{eqnarray*}$ ist die Partialbruchzerlegung dann $\begin{eqnarray*} \frac{-2}{(z-3)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

10.02.2014, 14:45

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Nun ja, irgendwie fehlt da was. verwirrt

verwirrt

10.02.2014, 14:57

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Mhm...aber der erste Schritt stimmt oder? Also $\begin{eqnarray*} \frac{z-5}{z^{2}-6z+9 } = \frac{z-5}{(z-3)^{2} } \end{eqnarray*}$ ? Wie muss ich das denn fortsetzen?

10.02.2014, 15:13

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Entweder eine klassische Partialbruchzerlegung machen oder geschickt umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{z-5}{z^2-6z+9 } = \frac{z-5}{(z-3)^2} = \frac{z-3-2}{(z-3)^2} = \frac{1}{z-3} - \frac{2}{(z-3)^2} \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 15:50

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Wie genau komme ich jetzt auf die Werte des Zählers im letzten Schritt?

10.02.2014, 16:01

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Was meinst du jetzt? Wie Bruchrechnung geht? $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a^2} = \frac{a}{a^2} - \frac{b}{a^2} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.02.2014, 16:31

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Das war wohl schon ein bisschen zu klar geschockt

geschockt

Und wie gehe ich bei diesem Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{z^{2} +2}{z^{3}+z} \end{eqnarray*}$ vor?
Umformen kann ich ihn ja zu $\begin{eqnarray*} \frac{z^{2} +2}{z^{2}+1}*\frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ aber weiterhelfen tut mir das ja nicht so recht...

11.02.2014, 08:45

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Nun ja, man könnte noch zerlegen: $\begin{eqnarray*} \frac{z^2 +2}{z^2+1} \cdot \frac{1}{z} = (1 + \frac{1}{z^2+1}) \cdot \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ , aber im Moment würde ich eine normale Partialbruchzerlegung vorziehen. smile

smile

11.02.2014, 10:22

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Wie eine normale Partialbruchzerlegung? Wie mache ich das denn, in diesem Fall ist ja der Zählergrad höher als der Nennergrad?

11.02.2014, 11:14

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von lauraam
Und wie gehe ich bei diesem Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{z^{2} +2}{z^{3}+z} \end{eqnarray*}$ vor?

Hier ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad und man kann den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{z^2 +2}{z^3+z} = \frac{A}{z} + \frac{Bz +C}{z^2+1} \end{eqnarray*}$

machen.

11.02.2014, 12:24

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Kann ich diesen Ansatz dann immer nutzen?
Ist A=2 denn korrekt?

11.02.2014, 12:49

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von lauraam
Kann ich diesen Ansatz dann immer nutzen?

Nun ja, was heißt "immer"? Der Ansatz bei der Partialbruchzerlegung hängt nun mal stark von dem Bruch ab, der zerlegt werden soll.

Und ja, A=2 ist korrekt.

11.02.2014, 13:02

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Ok...die komplette Partialbruchzerlegung wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}+\frac{z+\frac{1}{i} }{z^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ ?

11.02.2014, 13:11

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Nein, wie kommst du auf den 2. Bruch? verwirrt

verwirrt

11.02.2014, 13:34

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Stimmt denn das wenigstens $\begin{eqnarray*} C=\frac{z^{2}+2 }{z}=\frac{i^{2}+2 }{i}=\frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ ?

11.02.2014, 15:09

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Nein. Ich weiß auch nicht, warum du für z ein i einsetzt.

11.02.2014, 17:01

lauraam

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RE: Partialbruchzerlegung
Ich dachte ich muss dann für die Variablen die Nullstelle von C (z^(2)+1) einsetzen, welches in diesem Fall doch i ist?

12.02.2014, 08:45

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung
Dann schreib doch mal die Gleichung hin, in die du was einsetzen willst. Es wirklich schwer, aus den Bruchstücken deiner Beiträge abzulesen, was du überhaupt machen willst.

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