Differentialgleichung lösen

10.02.2014, 09:09

EZja

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich muss folgende Differentialgleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} y'(t) = c*y(t)*(1-y(t)) \end{eqnarray*}$ mit c>0 und y(0) = a mit $\begin{eqnarray*} a\in [0,1] \end{eqnarray*}$

Am Ende komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{y(t)}{1-y(t)} = e^{ct+k} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

Meine Ideen:
Keine Idee unglücklich

Ich versuche ganze Zeit ein y(t) wegzubekommen. Kriege es aber nicht hin...

10.02.2014, 09:15

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von EZja
Am Ende komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{y(t)}{1-y(t)} = e^{ct+k} \end{eqnarray*}$

Wie bist du darauf gekommen?

10.02.2014, 09:24

EZja

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Ich habe erst die Veränderlichen getrennt. Dann hatte ich:

$\begin{eqnarray*} c = \frac{y'(t)}{y(t)*(1-y(t))} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich beide Seiten integriert und hatte:

$\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{y'(t)}{y(t)*(1-y(t))} \end{eqnarray*}$

y(t) = z (Substitution)

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z*(1-z)}dz \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach Partialbruchzerlegung. Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z*(1-z)} dz = \int \frac{1}{z} + \frac{1}{1-z} dz = [ln(z) - ln(1-z)] \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir:
$\begin{eqnarray*} = [ln(z) - ln(1-z)] = ct+k \end{eqnarray*}$

bzw. wenn wir rücksubstituieren
$\begin{eqnarray*} ln(y(t)) - ln(1-y(t)) = ct+k \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 09:26

EZja

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und:

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{y(t)}{1-y(t)} ) = ct+k \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von EZja
Dann habe ich beide Seiten integriert und hatte:

$\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{y'(t)}{y(t)*(1-y(t))} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{dy}{y(t)*(1-y(t))} \end{eqnarray*}$

Dann erübrigt sich auch die eh falsch durchgeführte Substitution y(t) = z .

Bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{y(t)}{1-y(t)} = e^{ct+k} \end{eqnarray*}$ multiplizierst du mit 1-y(t) und sammelst y(t) auf einer Seite. Der Rest sollte klar sein. smile

10.02.2014, 09:49

EZja

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"Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{dy}{y(t)*(1-y(t))} \end{eqnarray*}$ "

Wieso ist das y'(t) plötzlich verschwunden? Also ich habe hier die Lösungen von unserem Übungsleiter und der hat alles genauso wie ich gemacht verwirrt

Wieso habe ich die Substitution falsch durchgeführt?

Ich habe mal die Lösung des Übungsleiters angehangen.

10.02.2014, 10:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von EZja
"Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{dy}{y(t)*(1-y(t))} \end{eqnarray*}$ "

Wieso ist das y'(t) plötzlich verschwunden?

Das ist eben die Methode der "Trennung der Variablen", indem man $\begin{eqnarray*} y'(t) = \frac{dy}{dt} \end{eqnarray*}$ schreibt, dann mit "dt" "multipliziert" und ein Integralzeichen davor hängt. Zugegebenermaßen hätte ich besser $\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{dy}{y*(1-y)} \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Es geht auch so, wie du geschrieben hast, dann muß es aber so heißen:

$\begin{eqnarray*} \int \! c \, dt = ct = \int \frac{y'(t)}{y(t)*(1-y(t))} ~dt \end{eqnarray*}$

und dann stimmt auch die Substitution.

Die weitere Auflösung nach z steht dann ja auch auf dem Zettel.

10.02.2014, 10:05

EZja

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Ja, habe das dt vergessen, sorry ^^

Habe noch zwei kleinere Fragen:

1. Ich schreibe ja, wenn ich c integriere ct +k. Wieso kommt nicht auch nach ln(z) - ln(1-z) ein +r oder halt ähnliches?

2. Ist diese Lösung nun richtig:

$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{e^{k}}{1+e^{k}} \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 10:08

EZja

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Sorry falsche Lösung! Meinte:

$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{e^{ct+k} }{1+e^{ct+k} } \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 10:17

klarsoweit

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Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von EZja
1. Ich schreibe ja, wenn ich c integriere ct +k. Wieso kommt nicht auch nach ln(z) - ln(1-z) ein +r oder halt ähnliches?

Das spart man sich, weil du k und r zu einer neuen Konstante k' zusammenfassen kannst. Augenzwinkern