Komplexe Gleichung auflösen

10.02.2014, 09:42

Janika

Komplexe Gleichung auflösen

Meine Frage:
Hallu,

ich habe eine Übungsaufgabe die heißt:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-1} = 1 - 3i \end{eqnarray*}$

Sieht vllt garnicht mal so schwer aus, bereitet mir aber Kopfschmerzen.

Meine Ideen:
Dachte erst, ich bringe das das z+1 auf die andere Seite und habe dann,

$\begin{eqnarray*} z = (1 - 3i) * (z - 1) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich das ausklammere komme ich aber auch nicht weiter.
Also dachte ich mir vllt erst z als x+yi schreiben?

Also $\begin{eqnarray*} x+yi = (1 - 3i)* (x - 1 + yi) \end{eqnarray*}$ . Aber auch das ist entweder nicht der richtige Weg oder ich hab falsch gerechnet.

Hab teilweise gedacht, ich bilde den Kehrwert und erweitere komplex konjugiert etc etc aber das hilft mir alles nicht :<

Vllt kann mir jmd helfen, wie ich da am besten rangehe.
Ich glaube ich bin mir allgemein unsicher, wie man am besten vorgeht bei solchen Aufgaben.

Grüße

Janika

10.02.2014, 09:44

klarsoweit

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RE: Komplexe Gleichung auflösen?

Zitat:

Original von Janika
Wenn ich das ausklammere komme ich aber auch nicht weiter.

Wieso nicht? Das Lösen solcher Gleichungen lernt man in der Mittelstufe. Augenzwinkern

10.02.2014, 10:05

Janika

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Problem bei mir ist, dass ich dann einmal das z habe, also zusammengefasster Imaginär und Realteil, und dann mit den "i"-Teilen nur den Imaginärteil habe.
Das kann ich schlecht zusammenfassen :o

10.02.2014, 10:06

klarsoweit

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Dann schreib doch mal die Gleichung mit der aufgelösten Klammer hin und sammle alles mit z auf einer Seite.

10.02.2014, 12:20

Janika

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Danke nochmal.

Ich hab das jetzt mal gemacht und glaube ich bin schon etwas weiter gekommen:

Also ausgeklamert sieht das bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} z = z - 1 - 3iz + 3i \end{eqnarray*}$

Dann alle z auf eine Seite:

$\begin{eqnarray*} z - z -3iz = -1 + 3i \end{eqnarray*}$
also:

$\begin{eqnarray*} -3iz = -1 + 3i \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} z=\frac{-1+3i}{-3i} \end{eqnarray*}$

Das dann komplex konjugiert erweitert:
$\begin{eqnarray*} \frac{-1+3i}{-3i} * \frac{3i}{3i} = \frac{-3i - 9}{9} = -1 -\frac{1}{3}i \end{eqnarray*}$

Sooo. Nur bin ich mir nicht 100%ig sicher ob das passt, oder ob ich da totalen Unfug gerechnet hab

10.02.2014, 12:48

Steffen Bühler

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Ich spring mal kurz ein.

Zitat:

Original von Janika
$\begin{eqnarray*} z = z - 1 - 3iz + 3i \end{eqnarray*}$

Dann alle z auf eine Seite:

$\begin{eqnarray*} z - z -3iz = -1 + 3i \end{eqnarray*}$

Siehst Du den Vorzeichenfehler?

Ansonsten ist Dein Vorgehen allerdings völlig richtig und führt auch zur Lösung, die Du durch Einsetzen schnell prüfen kannst.

Viele Grüße
Steffen

10.02.2014, 13:00

klarsoweit

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RE: Komplexe Gleichung auflösen

Zitat:

Original von Janika
ich habe eine Übungsaufgabe die heißt:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-1} = 1 - 3i \end{eqnarray*}$

Alternativ kann man bei dieser Aufgabe auch so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-1} = \frac{z-1+1}{z-1} = 1+ \frac{1}{z-1} = 1 - 3i \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten die 1 subtrahieren und den Kehrwert nehmen. Augenzwinkern

10.02.2014, 13:16

Janika

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Ah klar, blöder Fehler von mir.

Danke euch beiden nochmal.

10.02.2014, 16:38

Janika

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Hallo nochmal,

ich wollte mit dem gleichen Vorgehen die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-i} - \frac{1}{z-1} = 1 + i \end{eqnarray*}$
lösen.

Allerdings krieg ich die Formel nicht so aufgestellt in der Form z=...., sodass ich dann alle z wieder auf eine Seite bringen könnte.

Wie geht man da am besten vor ? :<

10.02.2014, 17:06

Steffen Bühler

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Ein Vorschlag:

Die linke Seite nach dem Schema $\begin{eqnarray*} \frac ab - \frac cd = \frac {ad-bc}{bd} \end{eqnarray*}$ umformen, Nenner mit rechter Seite vertauschen und quadratische Gleichung lösen.

Viele Grüße
Steffen

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