Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen

10.02.2014, 14:47

deislerx3

Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem, die konvergenz für die Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{k2^k + 3^k}{4^k} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen. Ebenso soll ich den Grenzwert berechnen.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, ich kann das Quotientenkriterium(ohne das (-1)^k) anwenden komme dabei aber nur auf das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \frac{(k+1)2^{k+1} +3^{k+1}}{k2^{k} + 3^{k}} \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 14:53

klarsoweit

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RE: Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen
Wo ist das Problem? Kürze durch 3^k . Augenzwinkern

10.02.2014, 15:29

HAL 9000

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@deislerx3

Da du sowieso den Reihenwert noch berechnen sollst, liefert dessen Berechnung (samt Begründung) im Vorbeigehen die Konvergenz ja mit. Ist also irgendwie doppelte Arbeit, sich jetzt hier noch durch das Quotientenkriterium zu kämpfen.

Zum Reihenwert: Die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

und deren Ableitung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

sind alles, was du brauchst - beides gültig für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

10.02.2014, 15:30

deislerx3

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RE: Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen
meinst du etwa den rechten teil mt dem $\begin{eqnarray*} \frac {3^{k+1}}{k2^k + 3^k} \end{eqnarray*}$

dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac {3}{1+ \frac{k2^k}{3^k}} \end{eqnarray*}$

was kann ich damit anfangen :/ sorry ich steh ein bisschen aufm Schlauch :-D

10.02.2014, 15:39

klarsoweit

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RE: Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von deislerx3
meinst du etwa den rechten teil mt dem $\begin{eqnarray*} \frac {3^{k+1}}{k2^k + 3^k} \end{eqnarray*}$

Nun ja, wenn schon, dann komplett: $\begin{eqnarray*} \frac {(k+1)2^{k+1} + 3^{k+1}}{k2^k + 3^k} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von deislerx3
dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac {3}{1+ \frac{k2^k}{3^k}} \end{eqnarray*}$

Wenn der Zähler korrigiert ist, kannst du dir überlegen, wogegen der Nenner konvergiert.

@HAL 9000: wie man sieht, sollte auch das Quotientenkriterium mal geübt werden. Augenzwinkern

10.02.2014, 15:57

deislerx3

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Zur geometrischen reihe:

ich kann den Bruch in zwei Teile aufspalten:

$\begin{eqnarray*} \frac {k}{2^k} + (\frac{3}{4})^k \end{eqnarray*}$

der linke teil wäre dann laut der Ableitung der geometrischen Reihe (oder stimmt das 0.5 nicht weil das ja x^k-1 ist):

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{(1-\frac{1}{2})^2} \end{eqnarray*}$

der rechte Teil

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

10.02.2014, 16:01

deislerx3

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RE: Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen
@klarsoweit

Meine frage ist nun, ob man denn k -> unendlich laufen lassen soll? dann würde ich auf 3/4 kommen. Ich dachte immer man sucht ein k, bei dem dieser Quotient eben kleiner als 1 ist.

10.02.2014, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von deislerx3
(oder stimmt das 0.5 nicht weil das ja x^k-1 ist)

Nun, wenn man das mit dem $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ in der Ableitung korrigieren will, dann kann man ja die gesamte Formel mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ multiplizieren und erhält

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^k = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .

Gravierender ist jedoch, dass du das $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ vollkommen unterschlagen hast.

10.02.2014, 16:25

deislerx3

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Ja ich habe das (-1)^k unterschlagen, weil ich es ja gar nicht mit in die geometrische Reihe "bringen" kann unglücklich

wenn ich das (-1)^k noch miteinbringe dann ergibt sich doch gar keine geometrische reihe... oder gibt es da einen trivialen zusammenhang?

Sorry dass ich da nicht so viel verstehe, aber mit Reihen tu ich mir echt schwer...

10.02.2014, 16:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von deislerx3
oder gibt es da einen trivialen zusammenhang?

Den gibt es: $\begin{eqnarray*} (-1)^k \cdot x^k = (-x)^k \end{eqnarray*}$ Big Laugh

11.02.2014, 08:51

klarsoweit

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RE: Konvergenz für Reihe zeigen und Grenzwert berechnen

Zitat:

Original von deislerx3
Meine frage ist nun, ob man denn k -> unendlich laufen lassen soll? dann würde ich auf 3/4 kommen. Ich dachte immer man sucht ein k, bei dem dieser Quotient eben kleiner als 1 ist.

Ja, du läßt k -> unendlich laufen. Wenn (wie in diesem Fall) $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}|\frac{a_{k+1}}{a_k}| = \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es ein k_0, so daß $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq \frac 4 5 \end{eqnarray*}$ ist für alle k > k_0. smile

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