Funktionen ineinander einsetzen

10.02.2014, 17:16	Markus454	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen ineinander einsetzen Wenn ich gegeben habe $\begin{eqnarray} u_k(t)= \text{rect} \left ( \frac{t-1}{2} \right ) \end{eqnarray}$ Wie schaut dann uk(t) aus? Ich weiß zum Beispiel, dass $\begin{eqnarray} rect(t)=H(t+1/2)-H(t-1/2) \end{eqnarray}$ ist. Mich irretieren irgendwie die Argumente. Weil ich sag euch wieso: Wenn ich uk(t) für sich alleine betrachte und in der Formel rect((t-1)/2) verschiedene Werte für t einsetze, dann bekomme ich, wenn ich mir die Ergebnisse aufzeichne das Ergebnis: $\begin{eqnarray} u_k(t)=H(t)-H(t-2) \end{eqnarray}$ wie auch wolfram alpha. Wie komme ich aber allein durch einsetzen von rect(t) auf rect((t-1)/2? Ich habe versucht bei rect(t) einfach überall wo t steht durch (t-1)/2 zu ersetzen. Das funktioniert aber nicht, denn dann wäre ja $\begin{eqnarray} rect\left ( \frac{t-1}{2} \right )=H(t/2)-H(t/2-1/2) \end{eqnarray}$ und nicht mehr übereinstimmend mit der Zeichnung und WOlfram alpha. Wie macht man das aber sonst?
10.02.2014, 19:53	Markus454	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bitte euch wirklich um Hilfe. Ich weiß icht wie es algorithmisch funktioniert. Intuitiv schon aber eben nicht wie es nur noch einzusetzen ist
11.02.2014, 12:51	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiert ist die Funktion $\begin{eqnarray} R(t)=H\left ( t+\tfrac{1}{2}\right )-H\left ( t-\tfrac{1}{2}\right ) \end{eqnarray}$ Du suchst die Funktion $\begin{eqnarray} U(t)=R \left ( \tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2}\right ) \end{eqnarray}$ Du musst also in der Funktion R(t) das Argument ersetzen gemäß $\begin{eqnarray} t\rightarrow \tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} U(t)=R \left ( \tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2}\right )=H\left ( \tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\right )-H\left ( \tfrac{t}{2}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\right )=H \left (\tfrac{t}{2}\right )-H\left ( \tfrac{t}{2}-1\right ) \end{eqnarray}$
11.02.2014, 13:49	Markus454	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos: Das stimmt eben nicht und ich verstehe nicht wieso!!!! Beweis: WOlfram alpha Bild
11.02.2014, 14:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst einen Fehler, wo keiner ist. Die Funktion $\begin{eqnarray} N: \ x \mapsto H \left( \frac{1}{2} x \right) - H \left( x \right) \, , \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist konstant $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Denn für negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sind beide Argumente von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ negativ, die Differenz der Funktionswerte ist daher $\begin{eqnarray} 0-0=0 \end{eqnarray}$ . Und für nichtnegative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sind beide Argumente von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ nichtnegativ, die Differenz der Funktionswerte ist daher ebenfalls $\begin{eqnarray} 1-1=0 \end{eqnarray}$ . Wenn du nun den Graphen der Nullfunktion um zwei nach rechts verschiebst, das heißt, oben $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x-2 \end{eqnarray}$ substituierst, bekommst du immer noch die Nullfunktion. Für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gilt daher: $\begin{eqnarray} N(x-2) = N(x) \ \ \Leftrightarrow \ \ H \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) - H \left( x - 2 \right) = H \left( \frac{1}{2} x \right) - H \left( x \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ \ H \left( \frac{1}{2} x \right) - H \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) = H \left( x \right) - H \left( x - 2 \right) \end{eqnarray}$

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