Herleitung Varianz mit Erwartungswerten

10.02.2014, 22:28

FreundFreund

Herleitung Varianz mit Erwartungswerten

Meine Frage:
definiert ist die Varianz: Var(X) = E(X²) - E(X)²
und die Kovarianz: Cov(X,Y)= E((X-E(X))*(Y-E(Y)))
multipliziere ich die Kovarianz mit sich selbst mal aus und versuche zur Formel der Varianz zu gelangen, scheitere ich.

Cov(X,X)= E[(X-E(X))*(X-E(X))] = E[(X-E(X))²]
= E[X*X - 2*X*E(X) + E(X)²]
= E(X²) - 2 E[X*E(X)] + E[E(X)²]

Meine Ideen:
damit ich man zur Form X² + E(X)² = Var(X) kommt, müsste gelten E[X*E(X)]=0.

außerdem müsste gelten: E[E(X)²]=E(X)²

ist das richtig?
Leider fehlen mir ein paar Rechenregeln, um das Problem zu lösen.

11.02.2014, 00:58

Kasen75

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RE: Herleitung Varianz mit Erwartungswerten

Zitat:

Original von FreundFreund

Meine Ideen:
damit ich man zur Form X² + E(X)² = Var(X) kommt, müsste gelten E[X*E(X)]=0.

Hallo,

es gilt vielmehr: $\begin{eqnarray*} Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \end{eqnarray*}$ . Du wolltest somit auf eine nicht richtige Gleichung hinaus.

Vielleicht kommst du jetzt mit deinen Rechenregeln weiter.

Grüße.

11.02.2014, 07:59

HAL 9000

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Zu den (tatsächlich fehlenden?) Rechenregeln: Für reelle Konstanten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (d.h. nicht zufällig) gilt

$\begin{eqnarray*} E[{\color{blue}a}] = {\color{blue}a} \end{eqnarray*}$

anwendbar auf $\begin{eqnarray*} E[{\color{blue}(E(X))^2}] \end{eqnarray*}$ . Ebenfalls gilt für diese Konstanten

$\begin{eqnarray*} E[{\color{red}a} \cdot X] = {\color{red}a}\cdot E[X] \end{eqnarray*}$

anwendbar auf $\begin{eqnarray*} E[X \cdot {\color{red}E(X)}] \end{eqnarray*}$ .

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