Aitken Neville Verfahren

11.02.2014, 00:32

Oran

Aitken Neville Verfahren

Hallo,

ich komme mit den Aitken Neville Verfahren nicht weiter.

Den Workshop habe ich mir durchgelesengenauso wie diese Aufgaben hier.

[Aufgabensammlung] Fragen & Antworten 1

Leider steige ich einfach nich durch, wie man auf diese Unterpunkte kommen soll.

Evtl könnte mir dies jemand bitte an meiner Aufgabe erörtern?

"Es soll die Sinusfunktion im Intervall [0,pi] durch ein Polynom interploert werden und an der Stelle t=1 angenährt werden.
Die Stützstellen sind t0=0 t1=1/2pi t2= pi"

c)
"Bestimmen sie mittels Aitken-Neville-Verfahren einen Nährungwer des Sinus an der Stelle t=1 durch Polynominterpolation mit Hilfe der Stützstellen "

Nun, ich weiß, dass ich dieses Dreiecksschema aufstellen muss und finde dazu auch die Formeln.

Allerdings ist es mir Rätselhaft wie genau ich die Stützstellen und deren Werte in diese funktionen stecken muss.
Wäre jemand so lieb und könnte mir das an dem Beispiel erörtern?

Gruß
Oran

11.02.2014, 10:32

Math1986

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RE: Aitken Neville Verfahren
Was genau ist dir denn unklar?

Zunächst berechnest du die Funktionswerte zu den Stützstellen, anschließend berechnest du das Interpolationspolynom zu diesen Stützstellen.

11.02.2014, 10:33

tigerbine

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RE: Aitken Neville Verfahren
Wir haben 3 Stützstellen, werden also werden wir ein quadr. IP erhalten. Die Wertetabelle lautet

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(\frac{\pi}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$

Was wir nun brauchen steht hier [WS] Polynominterpolation - Beispiele bzw hier [WS] Polynominterpolation - Beispiele (links beziehen sich auf konkrete Beiträge).

Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} q_{j,0}(x):=f_j, ~ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \forall j=0,...,n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{j,k}(x):=\frac{(x-x_{k-1})\cdot q_{j,k-1}(x) - (x-x_j) \cdot q_{k-1,k-1}(x) }{x_j-x_{k-1}} \end{eqnarray*}$

Dabei interpoliert $\begin{eqnarray*} q_{j,k} \end{eqnarray*}$ die Knoten $\begin{eqnarray*} x_0,...,x_{k-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 \quad ||~ y_0 = q_{0,0} \quad | ~q_{1,1} \quad |~ q_{2,2} \quad |~q_{3,3} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \quad ||~ y_1 = q_{1,0} \quad | ~q_{2,1} \quad |~ q_{3,2} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 \quad ||~ y_2 = q_{2,0} \quad | ~q_{3,1} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \quad ||~ y_3 = q_{3,0} \quad | \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich hier

$\begin{eqnarray*} q_{0,0} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{1,0} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{2,0} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q_{1,1} = \frac{(1-0) \cdot 1 - (1-0.5\pi) \cdot 0}{0.5\pi - 0} = \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$

Kommst du so weiter?

edit: zu langsam

11.02.2014, 12:16

Oran

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RE: Aitken Neville Verfahren

Zitat:

Original von tigerbine
Wir haben 3 Stützstellen, werden also werden wir ein quadr. IP erhalten. Die Wertetabelle lautet

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(\frac{\pi}{2}) = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$

Was wir nun brauchen steht hier [WS] Polynominterpolation - Beispiele bzw hier [WS] Polynominterpolation - Beispiele (links beziehen sich auf konkrete Beiträge).

Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} q_{j,0}(x):=f_j, ~ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \forall j=0,...,n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q_{j,k}(x):=\frac{(x-x_{k-1})\cdot q_{j,k-1}(x) - (x-x_j) \cdot q_{k-1,k-1}(x) }{x_j-x_{k-1}} \end{eqnarray*}$

Danke euch beiden für die Erklärung.

Eines bleibt mir hierbei allerdings schleierhaft, wieso wählt man q1,1

Ich weiß zwar wie man die Polynome baut, aber ich weiß nicht wann ich welches q i,j, suche.

ist das j immer die stelle an die ich annähren soll?

also hier 1.

und wenn dor stehen würde ich solle es an die stelle 2 annähren, müsste ich welches q finden?
q 2,2 oder q,1,2?

11.02.2014, 12:19

tigerbine

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RE: Aitken Neville Verfahren
q1,1 ist noch nicht das gesuchte Polynom. Das Schema im Bild

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_0 \quad ||~ y_0 = q_{0,0} \quad | ~q_{1,1} \quad |~ q_{2,2} \quad |~q_{3,3} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \quad ||~ y_1 = q_{1,0} \quad | ~q_{2,1} \quad |~ q_{3,2} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 \quad ||~ y_2 = q_{2,0} \quad | ~q_{3,1} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \quad ||~ y_3 = q_{3,0} \quad | \end{eqnarray*}$

Sagt dir doch, was du schon kennst, und dann von oben nach unten berechnen kannst. q2,1 usw.

11.02.2014, 12:32

Oran

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RE: Aitken Neville Verfahren

Zitat:

Original von tigerbine
q1,1 ist noch nicht das gesuchte Polynom. Das Schema im Bild

Zitat:

Sagt dir doch, was du schon kennst, und dann von oben nach unten berechnen kannst. q2,1 usw.

Ach so.

Also bestimme ich erst wie "tief" das schema geht, also immer eine ebene tiefer als ich stützstellen habe?
und dann entwickele ich anhand des Schemas bis zu dieser ebene?

11.02.2014, 12:35

tigerbine

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RE: Aitken Neville Verfahren
$\begin{eqnarray*} x_0 \quad ||~ y_0 = q_{0,0} \quad | ~q_{1,1} \quad |~ q_{2,2} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \quad ||~ y_1 = q_{1,0} \quad | ~q_{2,1} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 \quad ||~ y_2 = q_{2,0} \quad | \end{eqnarray*}$

Das ist dein Schema. in q22 erhältst du den gewünschten Wert. Probe kannst du z.B. über das "normale" IP machen.

11.02.2014, 12:40

Oran

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RE: Aitken Neville Verfahren

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} x_0 \quad ||~ y_0 = q_{0,0} \quad | ~q_{1,1} \quad |~ q_{2,2} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \quad ||~ y_1 = q_{1,0} \quad | ~q_{2,1} \quad | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 \quad ||~ y_2 = q_{2,0} \quad | \end{eqnarray*}$

Das ist dein Schema. in q22 erhältst du den gewünschten Wert. Probe kannst du z.B. über das "normale" IP machen.

Riesen Dank

11.02.2014, 23:50

Oran

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Irgendwie komme ich nicht auf das selbe ergebniss wie in der Lösung.

bei dieser Aufgabe:

Stützstellen sind 1,3,5,7 die Funktion ist der arc tan und man soll mit 4 stellen genauigkeit arbeiten.

Alles inn Bogenmaß

wie in der Lösung komme ich auf

$\begin{eqnarray*} q 00 = 0.7854 q 10 = 1.2490 q 20 = 1.3734 q 30 = 1.4289 \end{eqnarray*}$

Meine weiteren Lösungen:

$\begin{eqnarray*} q 11 = 1.4808 q 21 = 1.3423 q 31 = 1.4012 \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} 1.4804 1.3112 1.3456 \end{eqnarray*}$

und weiter

$\begin{eqnarray*} 1.3535 1.3198 \end{eqnarray*}$
Letztlich:

$\begin{eqnarray*} q 33 = 1.3366 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen wo mei Problem liegt?

Ich nutzte das Polynom wie oben erwähnt, aber finde einfach nicht vorran es liegen könnte.
Habe auch schon versucht direkt arctan einzusetzten anstatt der gerundeten werte und erst dann zu runden, auch ohne erfolg .

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